• ベストアンサー
  • 困ってます

数学科でするグリーンの定理、ストークスの定理等

数学科の初学年の解析で、多変数関数の積分のところでガウス、グリーン、ストークスの定理が出てきます。が、簡単に済ませているような気がします。 線積分は複素解析でも必要ですが、これらの定理は数学科の高学年、大学院とかで使うことはあるのでしょうか? 数学科でベクトル解析とかあまりしないので、何に使うのかなあ、と思います。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

 ガウス、グリーン、ストークスの定理は、うるさい事を言わなければガウス定理と同値ですよね?。でガウスの定理で本質的なのは、3次元ではいわゆる面素ベクトル、高次元では対偶テンソルと言われる奴だと思います(←良くわかってないけど(^^;))。  という訳で、テンソル代数の一部である外積代数を微積分(解析学や微分幾何学)と絡めて使用する時に、必要に応じて出てくる気がします。これは既にやったよねと、身も蓋もない形で(^^;)。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • グリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの発散定理 などの関連性

    境界付き多様体上の微分形式に対するストークスの定理 ∫C dω=∫∂C ω からの帰結として、 1.微積分学の基本定理。 2.正則関数についてのコーシーの積分定理。 3.グリーンの定理。 4.ベクトル解析におけるストークスの定理 5.ガウスの発散定理 などがあるらしいのですが、それらの関連性がどうも分かりません。 Cやωがどういたっときに、1~5の定理になるのでしょうか?

  • ガウスの定理やストークスの定理

    理学部で数学をべんきょしている大学3年生女子です。 独学で、3か月ほどかけてベクトル解析の本を読んでみました。 1年生の最後にやった多変数の微積部で、3次元版がはよくわかったのですが、最後に出てくるガウスの定理やストークスの定理って、どんなところに出てくるんでしょうか? 電磁気(勉強してしていないけど)で点電荷の話以外で、使われるのってありますか?

  • ストークスの定理について

    ストークスの定理というよりも0と2πの関係についての質問です。 ストークスの定理 ∫s curlF'・n' dS=∮c F'・dr' ('はベクトルの印)   (1) について ここで、3次元円筒座標(R,φ,z)で、次の場合を考えます。 F'=φ"/R (φ"はφ方向の単位ベクトル) これはcurlF'=0'を満たします。ですので(1)は(左辺)=0になります。 次に積分経路Cとして半径aの円周を考えて+φ方向に向かって線積分します。 このときdr'=φ"a dφ ですので (右辺)=a∫[0→2π]dφ=2πa になります。 ただこれはデカルト座標で積分すると右辺も0になるのがわかります。 0と2πというのは意味するところは同じで、三角関数が被積分関数のときはうまく機能しますが それ以外の場合はどう扱えばいいでしょうか? すごい初歩的な感じがして申し訳ないですが、ご回答お願いします。

  • 工学部の方のベクトル解析の使い方

    大学で数学を勉強しています。 ベクトル解析を独習しています。多変数の微積分の発展、と理解していますが、電磁気学や流体力学でよく使われるようです。 ストークスの定理やガウスの定理は、球など綺麗なものにしか適用できなくて、複雑な物体だとうまく計算できない気がします。 ベクトル解析って工学部ではどのように使われているんでしょうか。

  • 数学科でのベクトル解析の必要性

    大学で数学を勉強しています。数理情報科学科3年生です。 4年生と院では解析を勉強しようと思っています。 入学してから、微分積分、複素解析、そして今ルベーグ積分と微分方程式を勉強しています。 で、本屋さんに行くと、ベクトル解析というコーナーが数学の所にあって、ストークスの定理とかもあるので多変数の微分積分かな、とも思いつつ、微分方程式でもないみたいで、何につかうんでしょうか? 勉強しないよりする方がいいとは思うけど、将来必要になるとしたらどういう場合があるんでしょうか?

  • 電磁気以外のガウスの定理、ストークスの定理の使い道

    お世話になります。 ベクトル解析で習うガウスの定理とストークスの定理について、 電磁気分野以外で活用できる例がありましたら 教えていただけませんでしょうか。 どちらか一方でも結構です。 よろしくお願いいたします。

  • ストークスの定理

    ベクトル場A=(-y,0,0)に対して次の積分(1),(2)の値を各々計算し、ストークスの定理が成り立っていることを証明せよ。 ただし、Sは原点を中心とするxy平面内の半径aの円板、Cはその外周であり、線積分は左回りに行うものとする。 (A,Sはベクトルです) (1)∬s rotA・dS (2)∫c A・dS (1)は自分なりにとりあえずできました。 答えはπa^2になったのですがどうでしょうか?? (2)は線積分がわからなくて困ってます。 月曜日に提出なので、日曜日までに解いてもらえると助かります。 わかりやすいと嬉しいです。

  • 大学院の入試問題

    大学院の入試問題を解いていますが、解けなくて困ってます。 質問させてください。 1. 微分方程式を解け。(変数分離だと思うんですが、分離した後がうまく解けません)  xy(1+x^2 ) dy/dx=1+y^2 あと、ベクトル解析に関してなんですが 例えば、∫Adrの線積分や∫∫AdSを求めよなどの問題に関してです。 このような問題は解く際に、そのまま線積分で解く場合と、ガウスの発散定理やストークスの定理を使って解く場合がありますが、問題によって、そのまま解けばよいのか、定理を使って解くのか区別できません。 教えてくださると嬉しいです。

  • ヴェクトル解析の目的

    数学を大学で勉強しています。 ベクトル解析の目的は、 ・ガウスの定理 ・ストークスの定理 かな、と思うのですが、この二つがなかなか腑に落ちません。 一体何に使えるのだろう、と思うのですが、応用例も少なく、何に使えるのだろう、と不思議でなりません。 勉強のモチベーションとして、何のために勉強するのでしょうか?

  • ストークス定理

    xy平面上の円 c:x^2+y^2=4に沿って。A(x,y,z)=(x^2+y、x^2+2z、2y)の線積分∫c A・drをストークス定理を用いて求めよ。