グリーンの定理

質問

ベクトル解析（２次元）の問題で
「グリーンの定理により、自己交叉しない閉曲線Ｃで囲まれた領域Ｄで定義されたベクトル場Ｆ＝（f,g）に対して次式が成り立つことを確かめよ。

∫∫　rotＦdxdy＝∫　Ｆ・ｔds　
　 D　　　　　　 C

∫∫　divＦdxdy＝∫　Ｆ・ｎds　
　 D　　　　　　 　C
但し、ｔはＣの単位接ベクトル、ｎはＣの単位接ベクトルである」
という問題で上の式はわかるのですが、下の式がよくわかりません。
単位接ベクトルr'(t)/||r'(t)||と表されるとき、
単位法ベクトルがどう表されるかわかりません。

回答No.3

nubou · ベストアンサー

次の順で証明し補足に書いてください
（１）
Ｃが横辺がｘ軸に平行で縦辺がｙ軸に平行な長方形である場合に証明する
（２）
任意形状のＣ内部をを１の長方形と２辺がｘ軸かｙ軸に平行な直角３角形で敷き詰めたもので近似する
そしてＣが近似形状に等しい場合に証明する
（３）
２で近似できなかった部分を限りなく小さくしていけばその影響が限りなく小さくなることを証明する

（１）は簡単な積分問題
（２）は簡単な三角関数の問題
（３）は猿でも分かる問題

回答No.2

nubou

長方形で証明して
任意の曲線を内部に長方形を敷き詰めたもので近似したものについて証明して
最後に近似しきれない三角形部分の評価をする
ｔ（ｘ，ｙ）が単位接線だとすると単位法泉ｎ（ｘ，ｙ）は
ｔ（ｘ，ｙ）・ｎ（ｘ，ｙ）＝０かつ∥ｎ（ｘ，ｙ）∥＝１かつ外向きにより一意にも止まる

回答No.1

noname#5277

今ひとつはっきりとは思い出せないんですが、
下のＨＰを参考にしてみてください。

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_8/cont08_2.html
http://akademeia.info/main/math_lecturez/math_green_theory.htm
http://www.ed.kagu.sut.ac.jp/~j2200213/6green.html

ただ、下の式はグリーンの定理ではない気がする・・・
ストークスの定理じゃないかナァ、、、

http://www.ed.kagu.tus.ac.jp/~j2200213/6suto-kusunoteirinosyou.html