ストークスの定理について

質問

ストークスの定理というよりも0と2πの関係についての質問です。
ストークスの定理

∫s curlF'・n' dS＝∮c F'・dr'　('はベクトルの印)　　　(1)

について
ここで、3次元円筒座標(R,φ,z)で、次の場合を考えます。
F'＝φ"/R　(φ"はφ方向の単位ベクトル)

これはcurlF'＝0'を満たします。ですので(1)は(左辺)＝0になります。

次に積分経路Cとして半径aの円周を考えて＋φ方向に向かって線積分します。
このときdr'＝φ"a dφ
ですので
(右辺)＝a∫[0→2π]dφ＝2πa
になります。

ただこれはデカルト座標で積分すると右辺も0になるのがわかります。
0と2πというのは意味するところは同じで、三角関数が被積分関数のときはうまく機能しますが
それ以外の場合はどう扱えばいいでしょうか？

すごい初歩的な感じがして申し訳ないですが、ご回答お願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

すみません, #1 も微妙に嘘が混じってます. 実際には「右辺の周回積分で囲まれる領域」が問題です.

今考えた積分経路C では原点を囲んでしまい, その原点で curl F' がおかしくなっています. 逆に原点以外では curlF'＝0' なので (でいいですよね?), 「原点を囲まない積分経路」ならその考え方でまったく問題ありません.

本質的には留数定理も絡む話なのかな?

お礼

ご回答ありがとうございます。

確かにおっしゃる通りみたいですね。
自分も考えたのですが、線積分の経路Cにたいして、その経路Cで囲まれる面ならばはどの面でも面積分は同じ値になるはずです。
最初は面積分の方が誤ってるのかなと思ったのですが、面積分の領域として原点を含まないように
半径aで高さb(何でもいい)の円柱の面で面積分しても同じ値になるはずです。
ですからその場合全面でcurlF'＝0'が成り立つので、左辺＝0になるはずです。

ちなみにですが、計算ミスしてたみたいで、(右辺)＝2πだと思われます。

右辺の計算は、R=a上での計算ですから、一見うまくいきそうなもんですが、間違ってるとは。
経路上で積分できれば線積分は成り立つというもんでもないんですね。
ストークスの定理を習ったとき、内部の面のことはすべてその輪郭だけで決まるなんていわれて感動してましたが、とんだ戯言でした。

留数定理はまだきいたことあるレベルなので、勉強してから考えてみます。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

なんとなく
「これはcurlF'＝0'を満たします。ですので(1)は(左辺)＝0になります。」
があやしい. 「全ての点で」curl F' = 0' なんでしょうか?

お礼

なるほど！そこを忘れていました。

ストークスの定理は単にその経路においてだけでなく、面においても定義されていないと成り立たないということですね。つまりディラックのデルタ関数みたいなのを使わないとcurlF'は表せないと。
言われてみればそうですね。

ありがとうございました。