積分の変数変換について

質問

教科書で、”M⊂U⊂R^n (M,Uともに開集合）、F(x1,・・・,xn)はR^nのある微分方程式の積分でC^1級関数で、U上で∂F/∂x1≠0とする。また、Mと積分 F=τの交わりをMτとするとM=∪[α<τ<β]Mτとなる。これらより、陰関数定理からF=τをx1について解くことができて、
∫M dx1dx2・・・dxn=∫[α,β]dτ{∫Mτ|J|dx2・・・dxn}となる。 （∫Mは開集合M上で積分するという意味、Jはヤコビアン）”

と書かれているのですが、何故、右辺の積分範囲にMτが出てくるのかわかりません。Mτというのは元々(x1,・・・,xn)という座標系で表されていた集合なので、右辺の∫Mτ|J|dx2・・・dxnというのは、Mτに対応する(x2,・・・、xn)の集合Dτ上で積分しろという風に解釈すればいいのでしょうか？
どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

補足について

＃１の回答の中では、質問者さんの言葉に合わせて
＞Mτは(x1,・・・,xn)という座標系で表わされていたわけですが、
みたいな書き方をしましたが、
本当は、ＭとかＭτとかは、
座標系の取り方
(x1,x2,x3,…,xn) か、(τ,x2,x3,…,xn)か
とは関係なく、存在します。
例えば、R^2での単位円は、直交座標系では x^2+y^2=1 、極座標系なら、r=1 と表わされるわけですが、
座標系は単なる表現の仕方の違いであって、どう表現しようが単位円は単位円で同じものですよね。

というわけで、
∫M dx1dx2・・・dxn=∫M|J|dτdx2・・dxn
の両辺のＭは、同じ集合を、左辺は、座標系(x1,x2,x3,…,xn)で、右辺は座標系(τ,x2,x3,…,xn)で表わして、その範囲で積分しろと言っています。
＃１の補足について言えば、つまり、Ｍ＝Ｄ なわけです。

補足

なるほど。
よくわかりました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

冷静に考えれば、別にたいしたことを言っているわけではないのですが。

つまり、x1,x2,x3,…,xnを、τ,x2,x3,…,xn に変数変換したと言っているだけです。
＞Mτというのは元々(x1,・・・,xn)という座標系で表されていた集合なので、
＞右辺の∫Mτ|J|dx2・・・dxnというのは、Mτに対応する(x2,・・・、xn)の集合Dτ上で積分しろ

Mτは(x1,・・・,xn)という座標系で表わされていたわけですが、
∫Mτ|J|dx2・・・dxn
は、つまり、そのうち、(x2,・・・,xn)の部分だけとって来てその範囲で積分しろといっているわけです。

たとえば、R^2で、Mτ={(x,y)|0<x<1, x=y+τ} とかだとすれば、
∫Mτ|J|dy
=∫_[-τ→1-τ] |J|dy
ってことですが。

補足

>(x2,・・・,xn)の部分だけとって来てその範囲で積分しろ
っていうのはMτを(x2,・・・、xn)平面に射影して積分しろという意味ですよね？もう少しで理解できそうなので、もう一つ別の質問をさせてください。

>∫M dx1dx2・・・dxn=∫[α,β]dτ{∫Mτ|J|dx2・・・dxn}
は実際は
∫M dx1dx2・・・dxn=∫M|J|dτdx2・・dxn=∫[α,β]dτ{∫Mτ|J|dx2・・・dxn}
と書かれていたのですが、左の等式で両方の積分範囲がともにMなのは
どのように理解すればいいんでしょうか？
たとえばF(x1,x2)=x1+x2としてM={(x1,x2)|0<x1<1,0<x2<1}とすると
対応する積分範囲DはD={(τ,x2)|0<τ<1ならば0<x2<τ, 1<τ<2ならば
-1+τ<x2<1}となり、二つは一致しないと思うのですが・・
よろしくお願いします。