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積分可能条件について
積分して得られる関数が一価である為の条件が積分可能条件であると言うのは正しいのでしょうか？ 例えば簡単には以下の状況を想定しています。 df(x,y,z)= u dx + v dy + w dz fが積分して得られる関数、u,v,wが被積分関数とここでは書いています。 具体的には弾性体力学のひずみ(被積分関数)-変位(積分して得られる関数)の関係において出てくる適合条件は三変数における積分可能条件に相当しますが、この条件はひずみを積分して計算した変位が一価である為の条件であると書いてある本がありました。 他にも以下のようなことが疑問です。。。 １．積分して得られる関数が多価関数ならば積分可能条件を満たされないといえるか？ ２．積分して得られる関数fが三変数(x1,x2,x3)以上の場合、∂^2 f/∂x_i∂x_j -∂^2 f/∂x_j∂x_i=0 (i=1,2,3, j=1,2,3)の一回微分を非積分関数で置き換えたものは積分可能条件として十分か？ また、この話が何らかの形で不連続性と関係がありましたら、その関係についても教えていただけると幸いです。 表現が下手くそですみませんが、よろしくお願いいたします。
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「可縮空間で１-形式φが閉形式dφ=0（積分可能条件を満たす）ならばポアンカレの補題の逆により「ポテンシャル」は1価関数として存在する。」 の対偶をとって 「可縮空間でポテンシャルが多価ならば積分可能条件を満たさない。」 です。ポアンカレの補題により変数がいくつでも同じです。 私ごときものが回答するより森羅万象の深遠な問題に絶句するような見事な見解（誤差関数の不定積分が置換積分でできるとか）を堂々と披露されているお歴々に是非ご回答頂きたいものです。
お礼
xご回答いただいてからしばらく考えてみました。 積分可能条件は多変数でも一形式Φに対してdΦ=0で与えられ、 これを満たせば一形式Φを積分した量∫Φは必ず一価になるということですね。 逆にこの量∫Φが多価であれば、それを微分したΦは積分可能条件を満たさず、dΦ≠0となるということですね。 お蔭様でポアンカレの補題の意味が良く分かりました。 お礼が遅れて申し訳ありません。ありがとうございました。
- grothendieck
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ポアンカレの補題の逆により、星型領域(一般には可縮空間)であれば１-形式が完全形式である十分条件はいわゆる積分可能条件で与えられます。したがって積分して得られる関数が多価関数ならば積分可能条件を満たさないということも言えます。3変数以上であっても同様です。星型領域でなければ高価関数であっても局所的に積分可能条件を満たす例があります。例としてよく挙げられるのは原点を除いた2次元ユークリッド空間上で φ = (1/(x^2+y^2))(xdy - ydx) とするものです。これは「積分可能条件」dφ=0 を満たし、 f = Arctan(y/x) はdf = φを満たしますが、ｆは多価関数になります。 私ごときものが回答するより森羅万象の深遠な問題に想像を絶するような見事な見解を堂々と披露されているお歴々に是非ご回答頂きたいものです。
補足
ご回答いただきまして大変ありがとうございます。 なるほど、非常に参考になります。 １．多価関数であれば積分可能条件は満たさないについてはOKなのですね！ 「多価関数であれば完全形式でない」というのを使っていると考えてよろしいでしょうか？この部分はそういうものなのでしょうか？ また、「積分可能条件」dφ=0とありますが、これは微分形式を使った表式ですよね？ 普通に計算するとd df=∂_i ∂_j f dx_i dx_jとなってしまうので、∂_i ∂_j f=∂_j ∂_i fと同じものが導出できないので…。 d df=∂_i ∂_j f dx_iΛdx_jであれば基底の反対称性から導出できますが、一般に多変数の場合にdφ=0が積分可能条件と考えて差し支えないのでしょうか？ つまり∂_i ∂_j f=∂_j ∂_i fだけで十分なのでしょうか？例えば∂_i ∂_j ∂_k f=∂_k ∂_j ∂_i fなんていう条件が必要ないのか気になるところです。。。 たくさん疑問が出てきてしまって申し訳ありませんが、 もしご存知でしたら是非教えていただければと思います。 ※∂_i：変数x_iでの微分を略記しています。 (i=1,…,n) ※和の規約を使っています。
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