積分変数を-kからk~に変える計算ができません
※以下の「k~」は「kの上に~(チルダ)が乗った記号」で、k~ = -kです
フーリエ解析の本で、積分変数を-kからk~に変える部分で
本と自分の計算とで符号が合わないので、どこが間違っているのかご指摘願います。
（因みに、本の計算は、次の節の計算と辻褄が合うので、正しいようです。）
まず、問題部分だけを、本に載っているまま書きます：
∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[0,∞] F*(k~) e^(-i(k~)t) dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←問題の部分
自分の計算では：
∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←ここまでは同じ
∫[-∞,0]を∫[0,∞]にする（kの符号が反転する）
= ∫[0,∞] F(-k) e^{i(-k)t} dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk
F(-k) = F*(k) (式5.24)を適用する
= ∫[0,∞] F*(k) e^{i(-k)t} dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk
-kをk~に変える
= ∫[0,∞] F*(k) e^{i(k~)t} dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←F*()内がk~ではなくk、e^()内が正なので合わない
全体像を書きます：
a(k) = (1/2)∫[-∞,∞] f(t) cos kt dt (式5.21a)
b(k) = (1/2)∫[-∞,∞] f(t) sin kt dt (式5.21b)
複素フーリエ級数のときと同様に、複素数を導入する。まず、
F(k) = 2{a(k) - i*b(k)} (式5.22)
によって、複素数の値をとる関数F(k)を定義する。この式に(式5.21)とオイラーの公式(式3.3)を使うと、
F(k)
= ∫[-∞,∞] f(t) cos kt dt - i∫[-∞,∞] f(t) sin kt dt
= ∫[-∞,∞] f(t) e^(-ikt) dt (式5.23)
を得る。この(式5.23)を使って関数f(t)からF(k)を求めることを、関数f(t)のフーリエ変換と呼ぶ。また、(式5.23)で計算される関数F(k)をf(t)のフーリエ変換と呼んでもよい。更に、a(k), b(k)は0以上の実数に対してのみ定義されていたが、フーリエ変換F(k)は負の実数のkに対しても定義されていると仮定すると、(式5.23)でkを-kに変えることにより
F(-k) = ∫[-∞,∞] f(t) e^(ikt) dt
を得る。
ここで、f(t)は実関数であるとしているので、f(t) e^(ikt)はf(t) e^(-ikt)の複素共役となる。ゆえに、これらの関数を積分して得られるF(-k)とF(k)も互いに複素共役の関係にある。すなわち、
F(-k) = F*(k) (式5.24)
の関係式が成り立つ。
次に、F(k) e^(ikt)をkについて-∞から∞まで積分すると、
∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[0,∞] F*(k~) e^(-i(k~)t) dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←問題の部分
となる。
ここで第1項の積分変数をk~ = -kに変え、(式5.24)を使った。
…以上、引用終わり。
どこで符号を間違えているのか教えて下さい。宜しくお願いします。
お礼
回答ありがとうございます。 指数関数の引数を平方完成し、ガウスの積分の公式を使う方法は、授業で計算しました。 計算練習のために、極座標で積分をするようです。 私が理解力がなくて、crouthaiさんの「もしも、・・・」の後からがよく分かりません。もしよろしければ、少し具体的に教えてください。