中間値の定理？

質問

中間値の定理とは

「連結な集合 S 上の関数で連続である関数f(p)が、
　A, B ∈ S かつ f(A) ≠ f(B)のとき、

　f(C)＝r ∈(f(A), f(B))

　となる C∈Sが存在する」

と教わりました。

質問）
「C は A,Bを結ぶ曲線状」でなくていいのでしょうか？（中間値なので・・）

なお、「連結」というのは、集合内の任意の２点が連続曲線で結べることだそうです。

回答No.4

kabaokaba

「連結」というのは
ぶっちゃけた話
「二つ以上に分けられない」
というイメージです．
「分けられない」
すなわち「つながっている」（連結）

先にあげた連結の定義はこれを意味していて
もし，
空間Sが開集合AとBの和で
AとBの共通部分がなければ
SはAかBのどっちかになるということです
＃AとBの和であって，かつ共通部分がない
＃ってことは，「二つに分かれる」ということです
＃けど，もし「分かれたとすれば実は一方は空集合」
＃ということは実は「分かれていない」
＃文章にすると・・ややこしい

ちなみに，集合Sの任意の二点が
S上の連続曲線で結ばれるという「弧状連結」は
つながり方を要求している分「連結」よりも
強い概念です．

＞[0, 1) と (1, 2] の和集合は連結でない

これは，和集合をSとしたときに
Sには当然Rからの相対位相が入りますので，
[0,1)と(1,2]はSの開集合です
＃例えばRの開集合(-1.1)と(1,3)をとれば
＃[0,1)=S∩(-1,1), (1,2]=S∩(1,3)だから

もちろん，[0,1)，(1,2]は共通部分はなしです
したがって
Sは二つの，共通部分のない開集合の和になりますので
連結ではないです
直観的にも
[0,2]から1だけが抜けて「つながってない」です

>・Sの開集合A、というのはSの部分集合で開集合のもの、ということでしょうか？

そういうことです．
Sが何らかの位相空間の部分集合であるならば
何もいわれなければ相対位相で考えます．

補足

おかけさまで、ずいぶん理解できてきたと思います。ありがとうございます！！

もうひとつだけ確認させてください。

「[0,1)と(1,2]はSの開集合です」についてです。

以前、[0,1)などは閉集合でも開集合でもない、と勉強したので、ここがまだ理解し切れていません。

私は「相対位相」という言葉を知らなかったのですが、これがキーになっているのでしょうか。

回答No.3

kabaokaba

＞なお、「連結」というのは、集合内の任意の２点が連続曲線で結べることだそうです

これがまず間違いです．
＃というか。。。その本もしくは「先生」の
＃教育的配慮か。。。脚注なんかがあるべきだが
これは「弧状連結」と呼ばれる
連結の特別な場合です．

位相空間Sが連結であるとは
Sの開集合AとBで
S=A∪B，A∩B=φであるならば
A=SまたはB=S である
ということです．

連結と弧状連結は異なる概念です
弧状連結であれば連結ですが，
連結だから弧状連結ということは一般にはありません

そして，中間値の定理というのは
一般的には
「連結な集合の連続写像による像は連結」
ということです

したがって，ぶっちゃけた話
「点Cは点Aと点Bを結ぶ曲線上」になくても
かまいません．

＃もっとも「弧状連結」を「連結」と
＃称している状態では，かならず曲線上です
＃＃ちなみに「中間値の定理」の要諦は
＃＃f(a)とf(b)の「間」ということで
＃＃AとBの間ではないです

なお，参考URLが参考になるでしょう

参考URL：

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/htop3.html

お礼

えええ、そうだったのですか、ありがとうございます！！！

「位相空間Sが連結であるとはSの開集合AとBでS=A∪B，A∩B=φであるならばA=SまたはB=S であるということです．」

これを読んでウンウン考えたのですが、連結の意味がつかみきれません。

・なにか、この定義が「連結」を表す、ということが分かりやすい具体的な例はないでしょうか？

・Sの開集合A、というのはSの部分集合で開集合のもの、ということでしょうか？

補足

下のお礼の補足ですが、つまり、なぜ
「位相空間Sが連結であるとはSの開集合AとBでS=A∪B，A∩B=φであるならばA=SまたはB=S であるということです．」
という定義が「連結」という概念を表すのかがぴんと来ないので、連結な例、連結でない例、があると分かりやすいかなと思ったのです。

WikiPediaの「連結空間」に
●[0, 1) と (1, 2] の和集合は連結でない
という例が載っていたのですが、上の連結の定義と堂関係があるのかがよく分かりません・・。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

ojisan7

ご質問に書かれているいる部分に、既に、回答があります。Ｓは弧状連結ですから、当然、 「C∈Sが存在する」ということは、Ａ－Ｃ－Ｂを結ぶ曲線が存在することを意味します。

回答No.1

Trick--o--

A,B,C∈Sの時点で、CはA,Bを結ぶ曲線上にあります。