数学教えて下さい！

質問

１）2n^2を３で割ったときあまりは１にならないことを証明してください
２）nを整数とするとき、n^3+5nは６の倍数であることを証明してください

回答No.8

deshabari-haijo · ベストアンサー

1)
nが3の倍数のとき、2n^2は3の倍数になるので、3で割り切れます。
また、n=2のとき、2n^2÷3=8÷3=2余り2になります。
以上は、3で割り切れる場合と余りが2になる場合があることの確認です。
3で割り切れずに余りがある場合、「余りが1になることはない」と証明できれば、「必然的に余りが2になる」ので、例示だけで足りると考えます。
なお、3で割り切れずに余りがある場合、「余りが2にしかならない」との視点からの回答は他にあります。
ここでは、2n^2=3m+1（mは整数で余りが1）が成り立つ場合があると仮定すると、これを変形して、
2n^2-1=3m
２(n^2-1/2)=3m
この等式の両辺を比較すると、2と3は互いに素であるから、この等式が成り立つためにはn^2-1/2が3の倍数でなければなりませんが、これは整数にはならないので仮定が誤りです。
よって、2n^2を3で割ったときの余りが1になることはありません。

2)
『数学的帰納法』を用います。
n=0のとき、n^3+5n=0（6の倍数）
n=kのとき、n^3+5n=k^3+5kが6の倍数であると仮定すると、
n=k±1のとき、
n^3+5n
=(k±1)^3+5(k±1)
=k^3±3k^2+3k±1+5k±5
=(k^3+5k)±3k(k±1)±6（複号同順）
±3k(k±1)において、k(k±1)は隣り合う2つの整数の積であるから2の倍数になり、±3k(k±1)は6の倍数、また±6も6の倍数、そして「k^3+5kが6の倍数である」という仮定と合わせ、n=k±1のときもn^3+5n は6の倍数になります。
よって、すべての整数nについて、n^3+5nは6の倍数になります。

回答No.9

staratras

No.5&6の補足です。この別解のポイントは、「連続するn個の整数の中には必ずnの倍数が1個存在する」ということです。

具体的にいえば、連続する2個の整数、（例えば1,2、2,3、15,16、102,103)のどちらかは、必ず2の倍数（偶数)です。…（１）

連続する3個の整数（例えば1,2,3、2,3,4、15,16,17)の中には、必ず3の倍数が1個存在します。…（２）

これは、なぜかといえば、あるnの倍数と次に大きいnの倍数の間には、(n-1)個の整数しかない(植木算の原理）ため、n個の連続した整数をとれば、その中には必ずnの倍数が1個含まれるからです。(鳩の巣論法）

なお（２）の場合は必ず（１）を含み、かつ2と3は互いに素なので連続する3個の整数の積は必ず6の倍数になります。このいわば「一網打尽」の解法は相当応用が利き、nについて細かく場合わけをしなくてすむ場合が多い点が好都合です。例えば、次の問題です。

問題：n^5-nは10の倍数であることを示せ。(nは整数)

回答：n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n^2-1)(n^2-4+5)=n(n^2-1)(n^2-4)+5n(n^2-1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

ここで(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)は連続する5数の積であるから5の倍数と2の倍数を含み、かつ2と5は互いに素だから10の倍数、また5(n-1)n(n+1)は5と連続する3数の積だから同様に10の倍数であり、この両者の和であるn^5-5nは10の倍数。

もちろん、nを5で割った余りで5つの場合に分けて与式に代入したり、数学的帰納法を使っても示せますが、相当手間がかかりそうです。

回答No.7

kiha181-tubasa

１）について
　この問題のように「3で割ったとき……」の条件の時は
「nを3で分類する」と成功する可能性が極めて高い（ほどんど成功）です。（これは鉄則です）

「nを3で分類する」とは
3で割りきれる数　つまり、ｎ＝３k（kは整数）と表される場合
３で割って１余る数　つまり、ｎ＝３k＋１（kは整数）と表される場合
３で割って２余る数　つまり、ｎ＝３k＋２（kは整数）と表される場合
と場合分けすることです。そして、それぞれの場合について実際に2n^2を計算してみるのです。
（Ｎｏ２の回答者が合同を使っていましたが、同じです。３で割りきれるときはｎ≡０、３で割って１余るときはｎ≡１、……以下略）

（１）ｎ＝３k（kは整数）と表される場合
2n^2=2(3k)^2=18k^2
となり、これは明らかに3で割りきれて余りは０。
（２）ｎ＝３k＋１（kは整数）と表される場合
2n^2=2(3k+1)^2=2(9k^2+6k+1)=18k^2+12k+2=3(6k^2+4k)+2
となり、３で割ると２余る。　（３の倍数＋２、となっていますね）
（２）ｎ＝３k＋２（kは整数）と表される場合
2n^2=2(3k+2)^2=2(9k^2+12k+4)=18k^2+24k+8=18k^2+24k+6+2=3(6k^2+8k+2)+2
となり、３で割ると２余る。　（３の倍数＋２、となっていますね）

よって、いずれの場合も3で割った余りは１にならない。　　（Q.E.D)

次は２）ですが、６は２と３の最小公倍数なので、「２の倍数であり、かつ3の倍数である」を証明するのが普通です。つまり、「nを２で分類する」「nを3で分類する」の２つの作業が必要になります。これが基本です。
（しかし、（２１＝３×７等と比べると） ６は大きい数ではないので、直接６で分類してもよいでしょう。出題者は「nを２で分類する」「nを3で分類する」の２つの作業をさせたいでしょうけど……これが基本だから。）
ここは基本どおりで行ってみましょう。

以降、kは整数とする。
（A）まずn^3+5nは２の倍数であることを証明する。
(1)n=2kの場合
n^3+5n=(2k)^3+5(2k)=8k^3+10k=2(4k^3+5k)
よって、偶数である。
(2)n=2k+1の場合
n^3+5n=(2k+1)^3+5(2k+1)=8k^3+12k^2+6k+1+10k+5=8k^3+12k^2+16k+6=2(4k^3+6k^2+8k+3)
よって、偶数である。
(1)(2)いずれの場合もn^3+5nは２の倍数であることが証明された。

(B)次にn^3+5nは3の倍数であることを証明する。
(1)n=3kの場合
n^3+5n=(3k)^3+5(3k)=27k^3+15k=3(9k^3+5k)
よって、3の倍数である。
(2)n=3k+1の場合
n^3+5n=(3k+1)^3+5(3k+1)=27k^3+27k^2+9k+1+15k+5=27k^3+27k^2+24k+6=3(9k^3+9k^2+8k+2)
よって、3の倍数である。
(3)n=3k+2の場合
n^3+5n=(3k+2)^3+5(3k+2)=27k^3+54k^2+36k+8+15k+10
=27k^3+54k^2+51k+18=3(9k^3+18k^2+17k+6)
よって、3の倍数である。

(1)(2)いずれの場合もn^3+5nは3の倍数であることが証明された。

（A)(B)より、n^3+5nは２の倍数かつ3の倍数であるから、６の倍数である。（証明了）

回答No.6

staratras

1)の別解です。

2n^2=2n^2-2+2=2(n^2-1)+2=2(n-1)(n+1)+2

3つの連続する整数、n-1,n,n+1のいずれかは3の倍数である。
n-1,n+1のどちらかが3の倍数であるとき、2n^2を3で割った余りは2である。
nが3の倍数であるとき、2n^2を3で割った余りは0である。

したがって、いかなる場合も2n^2を3で割った余りが1となることはない。

回答No.5

staratras

2)の別解です。
n^3+5n=n^3-n+6n=n(n^2-1)+6n=(n-1)n(n+1)+6n

ここで(n-1)n(n+1)は3つの連続する整数の積であるから必ず2の倍数と3の倍数の両方を含み、6の倍数となる。また6nも6の倍数であるので、n^3+5nは6の倍数である。

回答No.4

asuncion

何かボロボロですね。
(2)のやり直し。
以下mod 6でやってみますか。
i)n ≡ 0のとき
n^3 ≡ 0, 5n ≡ 0, n^3 + 5n ≡ 0
ii)n ≡ 1のとき
n^3 = 1, 5n ≡ 5, n^3 + 5n ≡ 6 ≡ 0
iii)n ≡ 2のとき
n^3 ≡ 8 ≡ 2, 5n ≡ 10 ≡ 4, n^3 + 5n ≡ 6 ≡ 0
iv)n ≡ 3のとき
n^3 ≡ 27 ≡ 3, 5n ≡ 15 ≡ 3, n^3 + 5n ≡ 6 ≡ 0
v)n ≡ 4のとき
n^3 ≡ 64 ≡ 4, 5n ≡ 20 ≡ 2, n^3 + 5n ≡ 6 ≡ 0
vi)n ≡ 5のとき
n^3 ≡ 125 ≡ 5, 5n ≡ 25 ≡ 1, n^3 + 5n ≡ 6 ≡ 0
よって題意は示された。

回答No.3

asuncion

おっとtypoが。
＞よって、2n^2を3で割ったあまりは0にならない。
よって、2n^2を3で割ったあまりは1にならない。

回答No.2

asuncion

(1)
以下mod 3
i)n ≡ 0のとき
n^2 ≡ 0, 2n^2 ≡ 0
ii)n ≡ 1のとき
n^2 ≡ 1, 2n^2 ≡ 2
iii)n ≡ 2のとき
n^2 ≡ 4 ≡ 1, 2n^2 ≡ 2
よって、2n^2を3で割ったあまりは0にならない。

2)
以下mod 3
i)n ≡ 0のとき
n^3 ≡ 0, 5n ≡ 0, n^3 + 5n ≡ 0
ii)n ≡ 1のとき
n^3 ≡ 1, 5n ≡ 5 ≡ 2, n^3 + 5n ≡ 3 ≡ 0
iii)n ≡ 2のとき
n^3 ≡ 8 ≡ 2, 5n ≡ 10 ≡ 1, n^3 + 5n ≡ 0
よってnが整数のときn^2 + 5nは6の倍数

回答No.1

alain13juillet

n=3k,3k+1,3k+2と場合分けすれば、簡単にできます。
2)も、同様に３の上余計で場合分けして、３の倍数で偶数であることが証明すれば良いだけです。