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数学
「N を 2 以上,かつ,700 以下の整数とする。N^2-1 が 280 の倍数であるような N は何個あるか。」という問題が出されたのですが、解く方法または数学のどの分野に似たような問題があるか。答えてくれる人に大変ありがたいです。
- juimo_walter
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- mnakauye
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こんにちは、No.5です。 答えの出し方ですが、BとCは、350までの1違いの偶数と奇数でしたね。 ア)エ)の場合は、35の倍数を350までのうちで探すと 、 350÷35で10通りですが、350のときだけ、相手は1小さいほうの349になり、それ以外は、前後の1違いの数です。 つまり35の奇数倍ア)のとき、10とおり、偶数倍エ)のときは、9通りになります。 イ)のとき、350までの14の倍数は、350÷14=25ですから、1倍から25倍までになりますね。 そのうちのうち、1の位が4か6になるのは、倍数になるのは1の位が1か9のもの つまり1,11,21,9,19の5通りか、 1の位が4か6のものつまり、4,6,14,16,24の5とおりだけです。したがって10とおり。 ウ)のとき、7にかける数は1の位が3か7になりますから、350÷7=50までの数のうち、1の位が3か7の数は 3,13,23,33,43 と 7,17,27,37,47ですから、10とおり。 以上で39通りになります。 ちなみに、これでBとCの組み合わせがわかりますし、nはB+Cですよね。 (2B=n-1,2C=n+1より) 皆さんお答えのように、剰余系で考えるのもいいですが、 その場合3つの集合の、和集合と積集合の個数の問題になりますので、 こちらの初歩的な算数的な解き方のほうが簡単だと考えます。
- mnakauye
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こんにちは。 これは倍数・約数の問題と文字式の因数分解(言い換えると文字式の約数)を組み合わせた整数の問題です。 N^2-1=280A Aは正の整数 という関係を満たす整数を、Nが2から700までの数で探すわけです。 N^2-1は、容易に因数分解できますから、整数280も約数を考えてしまうと、 (N-1)(N+1)=2^3X5X7XA となりますから、右辺を何通りかの2つの数の積になることの可能性を探る問題になります。 可能性を狭めるために、左辺を考えれば、N+1とN-1は、ともに偶数か、ともに奇数ですね。 奇数の積は奇数ですから、280の倍数にはなりえません。 しかも、N-1とN+1差が2ですから、続く二つの偶数が280の倍数と言うことになります。 二つの偶数と言うことから、280の約数のうち、3つの2のうち2つは、N-1 とN+1の約数になりますから、 N-1=2B、N+1=2C とすると、BとCは1違いですから、 一方は偶数、他方は奇数で BxC=2X5X7XAとなります。 B,Cの範囲を考えると、Nは、2から700までですから、B,Cは350までになります。 この条件でで、2X5X7XAを1違いのBとCの2つの整数の積にすれば良いのです。 一方が、奇数であることを考えると、その奇数が、 ア)5と7の倍数のとき、(奇数は35の倍数、偶数はその1違い) イ)5だけの倍数のとき、(2と7は偶数側に入る・・・偶数は14の倍数、奇数は5の倍数で1違い) 14の倍数で5の倍数の1違いと言うことは、1の位は4か6になるので、14にかける数の1の位は、1か4か6か9 ウ)7だけの倍数のとき、(2と5は偶数側に入る・・・偶数は10の倍数、奇数は7の倍数で1違い) この奇数は10の倍数の1違いですから 1の位が1か9になるので7にかける数は1の位が3か7になる。 エ)5も7も含まない、奇数、(2と5と7は偶数側に入る・・・つまり偶数は70の倍数、奇数は1違い) に分かれます。 このそれぞれで1違いの偶数奇数の一方を、捜せば良いことになります。 ア)とエ)はまとめられますね。イ)ウ)には、それぞれア)の場合が含まれる可能性があるので注意 ここからは、範囲を考えて答える。 ア)10とおり イ)10とおり ウ)10とおり エ)9とおり こたえは39通り
280=(2^3)×5×7なので、 N^2-1≡0(mod 280)の解は連立方程式 N^2-1≡0(mod 2^3) N^2-1≡0(mod 5) N^2-1≡0(mod 7) の解と同じです。(理由を考えてみてください) Nは奇数しかとらないので、N-1とN+1のどちらか が必ず4の倍数になるためN^2-1≡0(mod 2^3)が 自動的に成り立ち、これを除外してよいです。 すると、下の2つの方程式だけ考えればよくて、 A={10の倍数} B={14の倍数} としたときに、 N∈{(A+1)∩(B+1)}∪{(A+1)∩(B-1)}∪{(A-1)∩(B+1)}∪{(A-1)∩(B-1)} (ただし2≦N≦700) となり、{}の中身同士は共通部分を持ちません。 したがってそれぞれの{}の中身の個数を勘定して 和を取ればよいです。 {(A+1)∩(B+1)} ・・・70x+1と表される数 {(A+1)∩(B-1)} ・・・5x+1=7yとなるx,yを用いて10x+1と表される数 {(A-1)∩(B+1)} ・・・5x=7y+1となるx,yを用いて10x-1と表される数 {(A-1)∩(B-1)} ・・・70x-1と表される数 それぞれ何個になるかは書かないので自分で計算 してみてください。
- B-juggler
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虚数で行きますか。なるほど。それもあるね! 代数の剰余類をぱっと見ました。 No.1のAlice先生と一緒。 280=40×7=5×8×7 =((2^3)×5×7) 最後はあまり関係ないけれど。 なので、5でも8でも7でも割り切れれば、その数は280で割り切れる。 つまり、280の倍数です。 あとは探していくのかな? N^2 -1 ≧280 が絶対条件ですから、 #十分条件かな N^2≧281 N≧√(280) =16.7・・・ N≧17 はでますね。 ふるいにかけたいけれど、結構大変かな? N^2-1=(N+1)(N-1) こうやったほうが早いかな? これと足してしまいますか? ごめんいい所取りだ>< (N+1)(N-1) mod 5∧8∧7=0 となるNを探す。 こうなるのかな? 後パターンわけして、 (N+1) mod 280=0 または (N-1) mod 280=0 (N+1) mod 5=0 ∧ (N-1) mod 35 =0 #これは存在しないね。 (N+1) mod 35 =0 ∧ (N-1) mod 5 =0 #これもおなじくないね。 Nに+1 したものが5の倍数なら、N-1は5の倍数ではありえない。 次(N+1) mod 7=0 ∧ (N-1) mod 40 =0 これはありうるね。 ±1を入れ替えて やはり存在する。 最後 8について ∧ 35 について 探していくということかな? 虚数使って、数論で言ったほうが早いかな?? (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
2≦n≦700のとき (n-1)(n+1)=280m (1) を満たす整数n,mを見つける。m≧1とする。 (1)より n-1 または n+1が10の倍数になるケースをまず検討する。 1)n-1=10i n+1=10i+2 (1)に代入して 10i(10i+2)=280m i(5i+1)=14m この解は a)i=2,5i+1=7m b)i=7,5i+1=2m c)i=14,5i+1=m d)i=14m,5i+1=1 解があるのは b)i=7,m=18,n=71 c)i=14,m=71,n=141 いか、このような分類をきっちりやっていけばよい。 答え39個
- alice_44
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N を 4, 5, 7 で割った余りは、各々いくつ?
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