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高校数学の問題です。
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f(n)の中に(n+1)っていう因数がありますよね。だから、もしnが「3で割って2あまる数」だったら、(n+1)が3の倍数になるので、f(n)が3の倍数なのは、明らか。 じゃあ、nが「3の倍数」や「3で割って1あまる数」の場合はどうなるか、と思考を進めるわけです。 ※実戦では、#3さんも言ってるように、このように分類するのは常套手段です。n+1という因数があろうとなかろうと。
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- enma309
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この問題に限らず、○の倍数であることを示せ、とか○で割り切れないことを示せ、という問題は、○で割ったあまりで分類することがよくある解法なんですね。 例えば、kの倍数であることを示せ、という問題だったらkで割ったあまりで分類して、 k(整数) という形が、kで割り切れないこと示せ、という問題だったら、これもkで割ったあまりで分類して、 k(整数)+(kで割り切れない整数) という形が導きやすいのです。 もちろん、因数分解したりなど、他の式変形の方法で示すような解法もたくさんありますので、状況に応じて解答の方針を考えるといいですよ。
- mister_moonlight
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別に、分類の必要もないんだが。。。。 n=3k、n=3k+1、n=3k+2、但し、kは整数。としてやれば良い。 分類しないなら。 f(n)=(n+1)(2n^2+n-3)=2n^3+3n^2-2n-3=3(n^3+n^2-n-1)-n^3+n=3*(n+1)^2*(n-1)-(n-1)*n*(n+1)。 従って、3*(n+1)^2*(n-1) は3の倍数、(n-1)*n*(n+1)の連続する3つの整数の積から6の倍数、つまり、3の倍数。 以上から、f(n)=(n+1)(2n^2+n-3)は3の倍数。
- haberi
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もう一段階因数分解すると、自然と分類したくなりますよ。
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