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高校数学 整数問題
質問したいことがあります。 「3より大きな素数pについて、p^2を12で割った余りを求めよ」 という問題があり、その解説で、 「pは3より大きい素数だから、2でも3でも割り切れない。よって、2と3の最小公倍数6で割った余りで分類する」の「よって、2と3の最小公倍数6で割った余りで分類する」のところの理由がどうしてもわかっておりません。 お分かりになる方がいらっしゃいましたら、助言頂けると助かります。 宜しくお願い致します。
- musaoutosa
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- uyama33
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3より大きな素数pについて、p^2を12で割った余りを求めよ ですが、pについての場合わけを12で割ったときの余りで行えば、 p=12k+r p^2=12*12*k^2+2*12*r*k+r^2 =12(....)+r^2 r=1~11 として調べれば回答は作れる。 でも、6で割ったときのあまりで場合わけすれば p=6k+r p^2=6*6*k^2+2*6*r*k+r^2 =12(3k^2 + r*k)+r^2 r=1~5 として調べれば回答は作れる。 ポイントは、p^2 の展開式の最初の2項が12の倍数になれば良いので、 2*6=12 より、6での場合わけですむ。 2*m が12の倍数になるには、mは6の倍数 よって、なるべくmを小さく取れば場合わけが少なくて済む。 よって、6のあまりで場合わけをする。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
6で割った時の余りによって素数を分類すると、 6n+1 または 6n+5 ・・・(1) のいずれかになります。例えば6n+2は偶数なので 素数ではなく、同様に6n+3、6n+4も除外される ためです。 (1)を二乗するとそれぞれ (6n+1)^2=36n^2+12n+1 (6n+5)^2=36n^2+60n+25 となっていずれも第二項までは12の倍数です。よって 定数項だけ見れば12で割った余りが判るという訳です。 この、「定数項だけ見れば」というのがミソで、そうするために 12の約数である「6で割った余りによって分類」している 訳ですが、これが唯一の方法という訳でもありません。 たとえば12で割った時の余りで分類すると 12n+1 12n+5 12n+7 12n+11 これらを二乗するとやはり第二項までは12の倍数になり、 定数項は1,25,49,121となるので、12で割った余りが 判ります。6で割った余りで分類する場合に比べて計算の 量が増えてしまいますが、考えつきやすいやり方ではある と思います。
お礼
gohtrawさん ご回答頂きありがとうございました。 大変よくわかりました。 お礼の返事が遅れ、大変申し訳ございませんでした。
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