偏角について

質問

3乗して8iになる複素数を求めよ。という問題の解答の中で、偏角が0<θ<2πとすると、、というのが書いてあったのですがなぜそのよのように決めれるのですか？

回答No.3

kiha181-tubasa · ベストアンサー

多分すでに解いていると思いますが，確認のため解を記します。

ｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)　（ただし，ｒ＞0，0<θ<2π）とおけば
ｚ^3＝ｒ^3(cos3θ＋ｉsin3θ)
また
8i＝8(cos(π/2＋2nπ)＋ｉsin(π/2＋2nπ))　（ただし，ｎは整数）

これから
ｒ^3＝8，3θ＝π/2＋2nπ
ｒ＝2（∵ｒ＞0），θ＝π/6＋2ｎπ/3　（ただし，ｎは整数）
となります。
∴　ｚ＝2(cos(π/6＋2ｎπ/3)＋ｉsin(π/6＋2ｎπ/3))
このままだと「一般解」という解ですね。ここで終われば一番簡単ですが……。

条件　0<θ<2π　がありますので，さらに一手間かけて
ｎに整数を……-1，0，1，2……と当てはめて，　0<θ<2πにあるθを求めさせようという問題ですね。

ｎ＝0のとき　θ＝2(cos(π/6)＋ｉsin(π/6))＝√(3)＋ｉ
ｎ＝1のとき　θ＝2(cos(π/6＋2π/3)＋ｉsin(π/6＋2π/3))
　　　　　　　＝2(cos(5π/6)＋ｉsin(5π/6))
　　　　　　　＝-√(3)＋ｉ
ｎ＝2のとき　θ＝2(cos(π/6＋4π/3)＋ｉsin(π/6＋4π/3))
　　　　　　　＝2(cos(3π/2)＋ｉsin(3π/2))
　　　　　　　＝-2ｉ
ここで得られた3つの値が求める答となります。
（これ以外のｎの値を入れても上の３つのどれかになります）

ここからが質問への回答となります。
＞なぜそのよのように「決めれるのですか？」
　出題者がこの範囲の具体的な解（特殊解）を求めさせようとしただけです。（-π≦θ＜πなどと決めても良いし，３つすべてを求めさせようとしなければ，もっと範囲を狭くするもの出題者の自由です。３つの内２つだけ答えさせようとするのも出題者の自由です）
　一般解を求めっぱなしにしないで，複素平面で具体的にどの辺にある複素数かを感じてもらいたいという意図もあるかもしれませんね。

お礼

ずっとモヤモヤしていたので助かりました！
また機会があればお願いします！

回答No.2

info33

>なぜそのよのように決めれるの

重複を避けるためです

z^3=8i=(2^3)=(2^3) e^(i(2nπ+π/2)) (n=任意の整数)
n=3m, 3m+1, 3m+2 (m=任意の整数)
z= 2e^(i(2nπ/3+π/6))
=2e^(i(2mπ+π/6)), 2e^(i(2mπ+5π/6)), 2e^(i(2mπ+3π/2))
(m=任意の整数)

>偏角が0<θ<2πとすると、
n=0,1, 2 (m=0), 偏角θ=π/6, 5π/6, 3π/2
の 3つだけに限定されます。
z=2e^(iθ)
=2e^(iπ/6)= √3 + i, =2e^(i5π/6)= -√3 +i, =2e^(i3π/2)= -2. ... (Ans.)

回答No.1

alain13juillet

Z^3=8i=8e^iθは複素平面で考えると、θ=π/6,５π/6,3π/4になるところですが、これに2πnを足した角度も答えになるためそうしています。