至急！関数、複素数について

質問

【至急】関数、複素数の問題について

「関数」
1/logxと1/logx2（エックスの2乗です）の定義域と値域は？

「複素数」
複素数-1＋√3iについて、絶対値は2であり、偏角は2π/3である。 関数に関しては、どんなグラフになるのかもわからず、複素数に関しては、偏角の求め方がわかりません。

数学の得意な方、是非とも詳しい解説とともに教えて下さい！

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

「関数」
>1/log(x)と1/log(x^2)の定義域と値域は？
対数は、底がe(ネイピア数=2.718281828459…)の自然対数とします。

y=1/log(x)
定義域：0<x<1, 1<x
値域：-∞<y<0, 0<y<∞
グラフ：添付図参照
y=log(x)のグラフが描けるなら、y=log(x)のグラフを描いて、各xに対するy座標の値の逆数1/yの値を図上でプロットすれば、y=1/log(x)のグラフになります。添付図を元に試行してみてください。
黒実線：y=1/log(x)、赤線：漸近線：x=0，x=1，y=0、破線：y=log(x)

y=1/log(x^2)
定義域：-∞<x<-1, -1<x<0, 0<x<1, 1<x
値域：-∞<y<0, 0<y<∞
グラフ：y=1/log(x^2)
-∞<x<-1のとき　y>0の単調増加関数。
　x→-∞のとき y→+0、x→-1-のとき y→+∞。
-1<x<0のとき　y<0の単調増加関数
　x→-1+のとき　y→-∞、x→0-のとき y→0-。
0<x<1のとき　y<0の単調減少関数。
　x→0+のとき　y→0-、x→1-のとき y→-∞。
1<x<∞のとき　y>0の単調減少関数。
　x→1+のとき　y→+∞、x→+∞のとき y→0+。
漸近線：x=0，x=1, x=-1，y=0
あとは,これらをもとにグラフを書いてみてください。グラフは、xに適当な値を代入してyを計算して、グラフの通る点を補えば、より正確なグラフの概形を描けるでしょう。

「複素数」
>複素数-1＋√3 iについて、絶対値は2であり、偏角は2π/3である。
教科書や参考URLで復習しておいてください。
z=x+yi=r e^(iθ)
　r=|z|=√(x^2+y^2)
　cosθ=x/r, sinθ=y/r, tanθ=y/x

>複素数に関しては、偏角の求め方がわかりません。
z=-1+√3 i=x+y i
xy座標平面上に原点O(0, 0)と
x=-1, y=√3の点A(-1,√3)とを結ぶ線分（動径）を書いて見てください。動径OAとｘ軸正方向となす角がzの偏角θになります。
　z=-1+√3 i =x+y i, x=-1, y=√3
複素平面（またはx,y座標平面）上にz=x+y i　または原点(0,0)と点A(x,y)を結ぶ線分の図を描いて見てください。

　OA：r=√(x^2+y^2)=√((-1)^2+(√3)^2) =√4 =2
　cosθ=x/r=-1/2, sinθ=y/r=√3/2
　∴偏角θ=2π/3 [ラジアン]=120°

となります。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/polar_coord1.htm

お礼

ありがとうございました！グラフやURLまで付けて下さり、大変助かりました。

回答No.1

asuncion

複素数
要するに、一般のxy座標平面上に
(-1, √3)という点をプロットし、
原点からの距離と
x軸とのなす角を
求めればよいのです。

よくある、例の「1 : 2 : √3」の直角三角形が
登場します。
よって、絶対値は2
偏角は120° = 3π/2

お礼

ありがとうございました！大変助かりました。