ベクトルの問題です。解説よろしくおねがいします。m

質問

三角形ABCと点Pに対し、6PA↑+14PB↑+15PC↑ =0が成り立つとする。また、2点B,Pを通る直線と辺ACとの交点外をDとする。
1)長さの比AD:CDは？
2)長さの比BP:PDは？
3)面積の比△ABC:△ADPは？
という問題です。この解答と解説をお願いしたいです。また、どんな図になるのかわからないのでそれも教えていただけるとありがたいです。

回答No.4

kiha181-tubasa

「図も」とありましたので，手書きの回答を画像貼付にします。
（高校の教科書に学んだ方法で泥臭く解くのが結局はわかりやすいし，ベクトルに強くもなります。公式くそくらえです。）

回答No.3

deshabari-haijo

点Pが三角形ABCの外部または辺上に存在すると、6PA↑+14PB↑+15PC↑ =0が成り立たないということは、感覚的にわかりますか。
よって、点Pは三角形ABCの内部に存在します。

BD↑=BA↑+AD↑=BA↑+mAC↑=PA↑-PB↑+m(PC↑-PA↑)=(1-m)PA↑-PB↑+mPC↑（mは定数）とおけます。
一方、BD↑=nPB↑（nは定数）とおけます。
よって、(1-m)PA↑-PB↑+mPC↑=nPB↑
この両辺に15を掛けて、6PA↑+14PB↑+15PC↑ =0から15PC↑ =-(6PA↑+14PB↑)を代入すると、
15(1-m)PA↑-15PB↑-m(6PA↑+14PB↑)=15nPB↑
(15-21m))PA↑-(15+14m)PB↑=15nPB↑
両辺を比較して、PA↑の係数は0であるから、15-21m=0→m=5/7
これから、左辺のPB↑の係数は、-(15+14×5/7)=-25
これが、右辺のPB↑の係数と等しくなるので、15n=-25→n=-5/3

1)
上の結果から、AD：CD=5/7：(1-5/7)=5/7：2/7=5：2

2)
上の結果から、BP：PD=1：(5/3-1)=1：2/3=3：2

3)
△ABCの底辺をAC、△ADPの底辺をADとすると、△ADPは△ABCと比べて、底辺が5/7倍、高さが2/(3+2)=2/5倍であるから、面積は5/7×2/5=2/7倍
よって、面積の比△ABC：△ADP=1：2/7=7：2

回答No.2

f272

6PA+14PB+15PC=0
から
PB=(-6/14)PA+(-15/14)PC
PD=kPB=(-6k/14)PA+(-15k/14)PC
となるが，DはAC上の点であるから
(-6k/14)+(-15k/14)=-21k/14=1
k=-14/21=-2/3
したがって
PD=(-2/3)PB=(2/7)PA+(5/7)PC
これから
AD:CD=5:2
BP:PD=3:2
がわかります。また
△ACP=(7/5)△ADP
△ABC=(5/2)△ACP
であることから
△ABC=(7/2)△ADP
となって
△ABC:△ADP=7:2
であることもわかります。

回答No.1

noname#232261

受験目的ならやめた方がいいよ。
プロはこんなとこにいないでしょ。