三角形の問題（平行、二等辺三角形）

質問

問題：三角形ＡＢＣにおいて、角Ｂの二等分線とＡＣの交点をＦ、角Ｃの二等分線とＡＢの交点をＥとする。
仮定：ＥＦ平行ＢＣのとき、
ＡＢ＝ＡＣを示せ

上記問題、平行線と比の関係を使う方法での解答があり、それは理解できましたが、それ以外の解き方あれば教えてください。
以上

をＦ

回答No.3

178-tall

>たとえば参考 URL の「角の二等分線のベクトル方程式」を利用する手…かナ？

まず、
　B → A のベクトルを a
　B → C のベクトルを b
とすれば、A → C と重なるベクトルは
　a + k(b-a) = (1-k)a + tb
と表せる。
ここで「角の二等分線のベクトル方程式」を利用すると、B → F のベクトル f は、
　f = ( |b|a + |a|b )/( |a| + |b| )
だとわかる。

同様に、C → E のベクトル e は、
　e = ( |b|(a-b) - |a-b|b )/( |a-b| + |b| )
　　= { |b|a - ( |b|+|a-b| )b }/( |a-b| + |b| )

つまり、E → F のベクトル f-e は、
　f-e = ( |b|a + |a|b )/( |a| + |b| ) - { |b|a - (|b|+|a-b|)b }/( |a-b| + |b| )
これがベクトル b に平行だというから、f-e の a 成分が零のはず。

　f-e の a 成分 = |b|{ |b-a| - |a| }/{(|a| + |b|)(|a-b| + |b|) }
だろうから、
　|b-a| - |a| = 0
　|b-a| = |a|
つまり、
　AB = AC

お礼

どうもありがとうございます。

回答No.2

178-tall

>上記問題、平行線と比の関係を使う方法での解答があり、それは理解できましたが、それ以外の解き方あれば教えてください。

たとえば参考 URL の「角の二等分線のベクトル方程式」を利用する手…かナ？

参考URL：

http://examist.jp/mathematics/planar-vector/nitoubunsen-vector/

お礼

どうもありがとうございます。

回答No.1

akira0723

平行線の錯角を言うのをご存じですか。
この問題はその錯角を知っているかを問う問題だと思います。
（もう1つ同位角というのもよく出ますので一緒に覚えましょう）

これは錯角だけで証明できます。
文書で証明すると下記のように長くなり分かりにくいですが、
要するに平行線の錯角を利用してやれば、角Bと角Cは等しいことが直ぐに証明でき、2つの角度が同じなので三角形ABCは2等辺三角形
よって、AB=ACとなります。
詳細な回答は下記の通り。

ＥＦ平行ＢＣなので
角EFBと角FBCは錯角なので等しい。
同様に
角FEC＝角ECB
また線BFは角ABCの2等分線なので
角FBC=角ABF
同様に
角BCE=角ECF
よって
角AEF＋角CBF＝角BCE＋角ECF
詰まり　角ABC＝角ACB
よって三角形ABCは（2つの角度が等しいので）2等辺三角形
よって
AB=AC

お礼

解答どうもありがとうございます。

補足

角AEF＋角CBF＝角BCE＋角ECF
何のことをいってるのかよくわかりません。