積分の証明問題

質問

Lim(x→0) 1/x ∮ (x～2x) sin(1/t) dt ＝0 を示せ。

という問題が分かりません。1/t＝rで置き換えて途中まで計算してみたのですが、cos(r)/rの積分が出てきて止まってしまいました。積分の式が分かりにくいと思ったので、同じ式を書いて画像添付しました。
証明が分かる方、教えてくださると助かります。

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

慣れなんですけど、sin(1/t)の不定積分は、恐らく求まりません。こういう場合、|sin(r)|，|cos(r)|≦1である事を利用して、絶対値最大を評価するのが、いちおう定石です。

＞1/t＝rで置き換えて途中まで計算してみたのですが、cos(r)/rの積分が出てきて止まってしまいました。

　部分積分したという事ですよね？(^^)。自分もやりました。その結果と|sin(r)|，|cos(r)|≦1を組み合わせても、|与式|≦3の結果しか出せません。原因は、部分積分の1項目の絶対値最大が、

　　|2x sin(1/2/x)－x sin(1/x)|
　≦2|x sin(1/2/x)|＋|x sin(1/x)|
　≦2|x|＋|x|
　＝3|x|

になるからです。部分積分の1項目は、r^2を先に積分してsin(r)/rですよね？。

　という事は、部分積分の各項が、sin(r)/r^2みたいになれば良い訳です。それと部分積分を組み合わせると、「sin(r)を先に積分して部分積分はどうだろう？」と当たりが付きます。sin，cosは何回積分しようが、sin，cosのままですから(^^)。

　添付図のようになりました。よって、x→0の時、

　　lim |1/x×∫sin(1/t)dt| ≦ lim |1/x×6x^2| ＝ lim |6x| ＝0

になります。

お礼

回答ありがとうございます😭✨ なるほど！ sin(1/t)の積分が求まらない場合は、絶対値最大を評価して解くのが定石なんですね…！！ そのまま積分の値を出そうとしてたために先へ進めなかった訳がよく分かりました。分かりやすい画像も添付してくださり、本当にありがとうございます。すごく納得できました！！！