- ベストアンサー
積分の証明問題
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
慣れなんですけど、sin(1/t)の不定積分は、恐らく求まりません。こういう場合、|sin(r)|，|cos(r)|≦1である事を利用して、絶対値最大を評価するのが、いちおう定石です。 ＞1/t＝rで置き換えて途中まで計算してみたのですが、cos(r)/rの積分が出てきて止まってしまいました。 部分積分したという事ですよね？(^^)。自分もやりました。その結果と|sin(r)|，|cos(r)|≦1を組み合わせても、|与式|≦3の結果しか出せません。原因は、部分積分の1項目の絶対値最大が、 |2x sin(1/2/x)－x sin(1/x)| ≦2|x sin(1/2/x)|＋|x sin(1/x)| ≦2|x|＋|x| ＝3|x| になるからです。部分積分の1項目は、r^2を先に積分してsin(r)/rですよね？。 という事は、部分積分の各項が、sin(r)/r^2みたいになれば良い訳です。それと部分積分を組み合わせると、「sin(r)を先に積分して部分積分はどうだろう？」と当たりが付きます。sin，cosは何回積分しようが、sin，cosのままですから(^^)。 添付図のようになりました。よって、x→0の時、 lim |1/x×∫sin(1/t)dt| ≦ lim |1/x×6x^2| ＝ lim |6x| ＝0 になります。
関連するQ&A
- 積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、
積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、 自分なりに解いた答えと、皆さんの答えが違っていました。 どこが違うのか、考え方が違うのか教えてください。 ※パソコンでの書き方が慣れていないため、かっこの付け方や 途中式で見ずらいものがあると思います。お許しください。 次の定積分を求めよ。 (1)∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx =∫(0～π/2)sin^2(1-sin^2)cosxdx =∫(0～π/2)(sin^2-sin^4)cosxdx =∫(0～π/2)sin^2(cosx)-sin^4(cosx)dx =[(1/3)sin^3x-(1/5)sin^5x](0～π/2) =(1/3-1/5)-0 =2/15 (2)∫(0～1)xtan^-1xdx t=tan^-1xとおくとx:0→1のときt:0→π/4 x=tant dx=1/(cos^2t)dt ∫(0～1)xtan^-1xdx =∫(0～π/4)tant/cos^2tdt =∫(0～π/4)(sint/cost)(1/cos^2t)dt =∫(0～π/4)sint/cos^3tdt =∫(0～π/4)(cos^-3t)(sint)dt =[(1/2)cos^-2(t)](0～π/4) =(1/2)(1/(1/√2)^2)-(1/2)(1/(1^2) =1-(1/2)=1/2 と解きました。長くなりましたが、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分 証明 問題
積分 証明 問題 ∫[0～π]（x・sinx）dxを求めよ。 I=∫[0～π]（x・sinx）dxとおく。 x=π-tとおくと、dx/dt=-1、積分範囲はπ～0 I=∫[π～0]（π-t）・sin（π-t）（-dt） =∫[0～π]（π-t）・sin（π-t）dt =∫[0～π]（π-t）・(sint)dt 2I=∫[0～π]（x・sinx）dx+∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt =∫[0～π]πsinxdx =2π I=π 一点分からない点があります。 ∫[0～π]（π-t）・(sint)dt=∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt について。単純にtをxに置き換えただけだと思いますが、 x=π-tと置換しているのに、t=xと同じ変数を使って再度 置換して良いのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分
広義積分の問題なのですが，変数変換をすると，積分範囲がどうしても0→0になってしまいます…。 問題は D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1} lim(ε→0) ∬{(x^2-y^2)/(x^4+y^4})dxdy という問題なのですが，これを x=rcosθ，y=rsinθ,ヤコビアン=r D'={(r,θ)∈R^2|ε≦r≦1，0≦θ≦2π} ∫(1/r)dr∫{(cos^2θ-sin^2θ)/(cos^4θ+sin^4θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/((cos^2θ+sin^2θ)^2-2cos^2θsin^2θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/(1-(sin2θ)^2/2)}dθ =∫(1/r)dr∫{2cos2θ/(2-(sin2θ)^2)}dθ ここでt=sin2θと変数変換しようとしたのですが， そうすると積分範囲が0→0になってしまします。。。 どこか間違っているのでしょうか?? どなたか解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ある積分計算の違和感について質問です。
ある積分計算の違和感について質問です。 【問題】 関数sin(x)cos(x)を区間[-π,π]で定積分した値を求めよ。 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx 以上の計算について、次の置換積分による計算は数学的に正しいでしょうか？ 積分区間が0になってしまうところに違和感がありますが、 正しく導けている？？？ 数学的に何が起きているのでしょうか？ 【解答】 t=sin(x)とおく。 このとき、dt = cos(x)より sin(x)cos(x)dx = t dt また，x : -π → π のとき t : 0 → 0 したがって、 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx =Int_[0,0]{t}dt =0 sin(x)cos(x)が奇関数であることや、２倍各の公式sin(x)cos(x)=sin(2x)/2を利用した方法でも答えは０であることはあってるのですが…。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の積分計算ですが…
∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角（２倍角）の公式を使わずに、という制限つきでした。 t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2) dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x) として、cos(x)で置換積分を試みましたが、 √(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか？ ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は 0→2π でした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題なのですが解き方が分かりません。
1)はΓ関数を、2）、3）はΒ関数を用いて次の積分を表せ．という問題なのですが、途中の計算が分かりません。何方か分かる方がいらっしゃったら何卒解説をよろしくお願いいたします。 1）∫[0→∞] ｘ＾4（1+ｘ＾2）/（1+ｘ）＾12 ｄｘ 2）∫[α→β] （t-α）^p （β-t）^q dt (α＜β、p＞-1、q＞-1) 3) ∫[-π/2→π/2] (1-sinθ)^p dθ （p＞-1/2）
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます😭✨ なるほど！ sin(1/t)の積分が求まらない場合は、絶対値最大を評価して解くのが定石なんですね…！！ そのまま積分の値を出そうとしてたために先へ進めなかった訳がよく分かりました。分かりやすい画像も添付してくださり、本当にありがとうございます。すごく納得できました！！！