Simultaneous equations

質問

Simultaneous equations
３元連立方程式

問題

Consider this system of linear equations
x + y + z = 3
2x - 3y +3z = 7
3x - 2y + 4z = 6
Give a geometrical description of how the planes represented by these three equations relate to each other.

聞きたい事
この３つの式を解いていくと解無し、というのはわかります。
誰かに聞いたのですが
x + y + z = 3　　(1)
2x - 3y +3z = 7　(2)
3x - 2y + 4z = 6　(3)
(1)＋(2)＝(3)　になれば解無数となる、(1)＋(2)＝(3)　にならなければ解無しになると聞きましたがこれは正しいですか？

又、この３つの式はどの様な形で解無しだという事はわかりますか？
例えば(1)と(2)の関係は解無数だが(3)が加わる事で解無しになるとか、３つとも並行で解無しだとか、３つの式がどういう形で解無しになっているのか、というのは計算してわかるものですか？

幼稚な説明の仕方しか出来なくてすみません。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

x + y + z = 3　　(1)
2x - 3y +3z = 7　(2)
3x - 2y + 4z = 6　(3)

(1),(2),(3)の式の(x,y,z)は３次元空間の直交座標空間の座標点に対応させることができます。
(1),(2),(3)はそれぞれ、３次元座標空間では平面を表します。
(1)と(2)の平面は平行な平面でないので、交わり、その交わる点は一本の直線上にあります。この直線のことを交線と呼びます。
(1)と(2)を同時に満たす解は交線上の座標点(x,y,z)の全てですから(1)と(2)の解は無数に存在します。
つまり(1)と(2)の式は２つの式で、交線の直線を表す式とも言えます。

(1)+(2)=(3)となれば、(1)と(2)の交線が(3)の平面に含まれるということを意味します。つまり、(1)と(2)の交線上の全ての座標点(x,y,z)は(3)の平面上の座標点でもあるので、(3)の式も満たします。すなわち、(1),(2),(3)を同時に満たす解が無数に存在するこということです。

>(1)＋(2)＝(3)　にならなければ解無しになると聞きましたがこれは正しいですか？

正しいです。

>又、この３つの式はどの様な形で解無しだという事はわかりますか？

これは３次元空間直交座標で考えれば、(1)と(2)の交線が(3)の式が表す平面と交わらない、つまり、交線と(3)の平面が平行となっていて、(1)と(2)の解の全てが(3)の式を満たさないことを意味します。すなわち、((1),(2),(3)の３つの式を同時に満たす解が存在しない（解なし）ということです。

>例えば(1)と(2)の関係は解無数だが(3)が加わる事で解無しになるとか、

その通りです。

>３つとも並行で解無しだとか、

その場合もありますが、他にも、２つの平行でない平面の交線が、残りの平面と平行な場合も解なしとなります。

>３つの式がどういう形で解無しになっているのか、というのは計算してわかるものですか？

計算でも、わかります。

２つの方程式が同時に成立しない場合
たとえば
　x+y+z=3 ...(1)
　x+y+z=1 ...(2)
の場合(1),(2)を同時に満たす解は存在しない（不能）ので解なしとなります。

また、
(2)つの式から、２つの変数を、他の１つの変数で表して、もう１つの敷に代入するとその式が成り立たない場合も解なしとなります。
たとえば
2つの式から
　x=z+1　...(1)'
　y=2z-3 ...(2)'
が導かれたとしよう。
もう１つの式が
　x+y-3z=5 ...(3)
の場合(1)'と(2)'を(3)に代入すると
　-2=5
となって(3)式が成り立たず、
この場合も解なしとなります。

お礼

詳しく説明して下さって有り難うございました

回答No.2

178-tall

x + y + z = 3　　…(1)
2x - 3y + 3z = 7　…(2)
3x - 2y + 4z = 6　…(3)

この「３つの式」の左辺は (1)＋(2)＝(3) 、右辺は (1)＋(2)≠(3) ですね。
これは「解無し」。
もし、左右辺とも (1)＋(2)＝(3) なら「解無数」。
「計算してわかるもの」です。

x + y = 3 - z　　…(1)'
2x - 3y = 7 - 3z　…(2)'
3x - 2y = 10 - 4z　…(3)'
なら、左右辺とも (1)＋(2)＝(3) 。

(1)' , (2)' を解くと？

　x = -(1/7)(-22+8z)
　y = -(1/7)(1-z)

当然、(3)' が成立。

回答No.1

trytobe

すごく図形的な説明をすると、

まず２元連立方程式の場合は、「座標のｘ軸とｙ軸がある２次元平面の中に、直線の式が２本ある」というのが、２元連立方程式で、その２つの直線が交わるところの座標（ｘ，ｙ）が答えなのです。

ここで重要なのは、２元連立方程式でも、２つの式が同じ直線（重なっている）なら、どこでも交わっているので「解は無数」（直線上のすべてが解）なのです。２つの式が重なっていないけど平行な直線だったら、どこまでいっても交わらないので「解なし」なのです。

これと同じことが、３元連立方程式の場合は、「座標のｘ軸とｙ軸とｚ軸がある３次元立体空間の中に、直線の式が３本ある」というのが、３元連立方程式で、その３つの直線が交わるところの座標（ｘ，ｙ，ｚ）が答えなのです。

簡単にするため、直線３本のうち、(1) も (2) も満たす（ｘ，ｙ，ｚ）なら、(1)＋(2) も満たすから、これを１本の直線として統合したものにして、残りの (3) との２本で、さっきのような重なっているか（解無数か）、平行やねじれの位置で交わることがない２つの直線か（解なしか）、というのを「(1)+(2)」と「(3)」の２本の直線で把握しよう、という意図なのです。

お礼

有り難うございます、書いて下さった事全部読みました。
とても助かります。