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正四面体の頂点を求める問題
正四面体ＡＢＣＤにおいて A(1,3,0） B(3,5,0） C(3,3,2) のとき、最後の頂点Dの座標をもとめる問題を教えて下さい。 幾何学的に２つ解がありそうなイメージはあります。 まず、AB間の距離が２√２であることを求めました。 そこでＤの座標を（x,y,z)とし、Dは、A,B,Cからそれぞれ等距離（２√２） であることから次の連立方程式を立式しました。 (x-1)^2＋(y-3)^2＋z^2=8 ・・・・(1) (x-3)^2+(y-5)^2+z^2=8 ・・・・(2) (x-3)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=8 ・・・・(3) これを以下のとおり計算して、 (1)-(2)より、 ｘ＋ｙ＝６ ・・・(4) (2)-(3)より、 ｙ－ｚ＝３ ・・・(5) (1)-(3)より ｘ＋ｚ＝３ ・・・(6) の3本の一次式を得ましたが、(4)＝(5)+(6)となってしまい、 解を特定できなくなってしまいました。 立式の方針に間違いがあるのでしょうか、あるいは、なにか 見落としがあるのでしょうか？
- funoe
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(4),(5),(6)より y = 6 - x z = 3 - x (1)に代入して (x-1)^2 + (3-x)^2 + (3-x)^2 = 8 二次方程式をたすきがけによって解く。
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- h191224
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(4)=(5)+(6)は、実は当たり前です。 ３元連立方程式の２個ずつを加減して３個の式を導いてしまうと、必ずこのようになります。 消去法の視点からは、２個が導ければ良いわけで、(4)～(6)のうちの任意の２式から、変数３個のうちの２個が消去できてしまいます。 たとえば(4)(5)からなら、 x=6-y z=y-3 が得られ、これを(1)に代入すれば、yだけの２次方程式になります。 この２次方程式は簡単に因数分解できて、解けてしまいます。
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確かに解けました。ありがとうございました。