判別式

質問

(a＾2)＋(b＾2)≦1をみたす実数a,bに対して、2次方程式
(x＾2)＋2ax＋b-1=0 ……(1)
が与えられているとき

ア。方程式(1)は実数解をもつことを示す方法
で図を使うとき方はわかったのですが図を使わないで求める方法がわかりません。

a^2+b^2≦1 を変形すると
a^2≦1-b^2=-(b^2-1)=-(b+1)(b-1)
までは理解できたのですが、場合分け等がわからないので理解できません。
高度な説明はわからないので、基礎からおしえてください。
おねがいします。

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

>a^2≦1-b^2=-(b^2-1)=-(b+1)(b-1)
>aは実数なので、a^2≧0 はりかいできたのですが、
>-(b+1)(b-1)≧0 がわかりません。

1-b^2　　　　　　　-1でくくる
=-(b^2-1)　　　　　因数分解する
=-(b+1)(b-1)　　　 1=1^2 なので２乗の差は和と差の積の公式

ここまでは大丈夫？
ところで、
a^2≦1-b^2
でしたね。-(b+1)(b-1)は 1-b^2 を変形しただけなので同じもの。
だから、
a^2≦-(b+1)(b-1)
で、a^2≧0 です。これを上の式にあてはめます。（上の式の左側に "0≦"がくっつく訳です）
0≦a^2≦-(b+1)(b-1)
一番左と一番右どうしを比べても大小関係はそのまま成立するので、
0≦-(b+1)(b-1)
左辺と右辺を入れ替えて　-(b+1)(b-1)≧0 です。

これでＯＫでしょうか。
あとは、両辺に-1をかけて、（マイナスなので不等号の向きが変わる）
(b+1)(b-1)≦0
これから、bの取りうる範囲が -1≦b≦1 であることが判ります。
この辺は、2次不等式の解法になりますが、念のため解説しておきます。

(b+1)(b-1)≦0
左辺は b+1　と　b-1 の掛け算です。
等号は　b+1=0 または b-1=0 のときに成立
つまり、b=-1 または b=1 のときに成立です。
次に等号じゃないときを考えます。
かけて負になるので、b+1　と b-1 は異符号です。（どっちかがプラスでどっちかがマイナスです）

<1> b+1＞0 かつ b-1＜0 のとき
b+1＞0 より、b＞-1
b-1＜0 より、b＜1
これを両方満たす範囲は　-1＜b＜1

<2> b+1＜0 かつ b-1＞0 のとき
b+1＜0 より、b＜-1
b-1＞0 より、b＞1
これを両方満たす実数b は存在しない。

結局<1>の場合だけになり、等号成立の場合をあわせて
(b+1)(b-1)≦0
を満たすb の範囲は　-1≦b≦1　となります。

>最終答はなんと書けばよいでしょうか？

こんな感じでいいと思います。
-------------------------------------
(1)の判別式
D = (2a)^2-4(b-1) = 4a^2-4(b-1) =4(a^2 - b + 1)　…(2)

条件 a^2+b^2≦1 を変形すると
a^2≦1-b^2=-(b^2-1)=-(b+1)(b-1)
aは実数なので、a^2≧0 より、
-(b+1)(b-1)≧0 すなわち、(b+1)(b-1)≦0
よって、-1≦b≦1
これより、1-b ≧0 であり、　[※]
a^2≧0 なので、a^2-b+1 ≧0
従って、D≧0 が成り立つ。
ゆえに、条件 a^2+b^2≦1　のもとでは、判別式D≧0 が成り立つので、(1）は実数解を持つ。

[※]
-1≦b≦1 から　1-b ≧0　を導くところは省略して構いません。

補足

>
かけて負になるので、b+1　と b-1 は異符号です
がよくわかりません
b=1とb=-1だからその二つを書けるとマイナスだから異符号となるのですか？

＞<2> b+1＜0 かつ b-1＞0 のとき
b+1＜0 より、b＜-1
b-1＞0 より、b＞1
これを両方満たす実数b は存在しない。

について、1<b<-1と変な範囲になるから存在しないとなるのですか？

＞-1≦b≦1 から　1-b ≧0　
となることがわかりません。

問題を解くのに付き合ったくれてかんしゃしています。
ありがとう

回答No.3

hinebot

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=891539
↑
こちらで、私がNo.2で回答した方法ですね。

(以下貼り付け)
(1)が実数解をもつための条件は、
　(1)の判別式≧0　⇔　a^2 - b + 1≧0　…(2)

条件
a^2+b^2≦1 を変形すると
a^2≦1-b^2=-(b^2-1)=-(b+1)(b-1)
aは実数なので、a^2≧0 より、
-(b+1)(b-1)≧0 すなわち、(b+1)(b-1)≦0
よって、-1≦b≦1

ここで、-1≦b＜0 と0≦b≦1 で場合分け。
---------------------------------------------
この場合分けが判らないんですね。失礼しました。
-1≦b≦1 はＯＫですよね？
さて、(1)が実数解を持つことを示したいので、判別式(2)が成り立つことを示したいわけです。
a^2 - b + 1 =a^2 +(1-b)
ですね。ここで、aが実数なので　a^2≧0 は常に成り立ちます。（これもＯＫですか？）
なので、残りの1-b が正または0であれば、
(正または0)＋(正または0)＝(正または0)
なので、(2)式は成り立つことがいえます。（ここまでＯＫですか？）

で、前回の回答では 1-b が正または0 であるのを示すのに、bの符号が正か負で分けた方が理解し易いかと思い、
-1≦b＜0 と0≦b≦1 で場合分けしました。
(i)-1≦b＜0、つまりbが負の場合は、それにマイナスを書けた-b が正になりますので
1-b=1+(-b)　で、正に正を足しているので 1-bは必ず正です。
(ii)0≦b≦1 つまり、bが正または０の場合
bは１以下なので、１から（1以下）を引いても負にはならないですから、1-b ≧0 です。

ということが言いたかったんですが。（今度はＯＫでしょうか？）

がかえって、混乱させたようですね。申し訳ないです。
#1,#2の方が示されているように、場合分けしなくても
-1≦b≦1　から即 1-b ≧0 は言えます。

-1≦b≦1
の両辺に-をかけると
1≧-b≧-1 （不等号の向きが変わる）
辺々に1を足すと
1+1≧-b+1≧-1+1　すなわち 2≧1-b≧0
左側の2≧1-b　の部分は今回使いませんが、とにかく
1-b≧0 がいえました。

これでも判らなければ、ところどころ書いた「ＯＫ？」のどの時点が判らないのか補足ください。

お礼

最終答はなんと書けばよいでしょうか？
参考書の答は略(D≧0を示せ）としか書いてなくて

補足

まだ、途中段階なのですがおしえてください。
a^2≦1-b^2=-(b^2-1)=-(b+1)(b-1)
aは実数なので、a^2≧0 はりかいできたのですが、
、
-(b+1)(b-1)≧0 がわかりません。

a^2≦-(b+1)(b-1)からどうして分解するのかわかりません。
おねがいします

回答No.2

postro

判別式をＤとすると
Ｄ／４　＝ａ＾2　－（ｂ－１）
　　＝ａ＾2　+（1－ｂ）
だから　（1－ｂ）≧0　を示せば　Ｄ≧0　となり、実数解を持つことが示されたことになります。
（ａ＾2≧0　は当然とします）
0≦a^2≦1-b^2=(1+ｂ)(1-ｂ)　より
-1≦ｂ≦1　が言えます。つまり
０≦(1-ｂ)　も言えます。

補足

質問の仕方が変になってすいません。
あの。
、-1≦b＜0 と0≦b≦1 で場合分けの方法をおしえていただけませんか？
わからなくて。

回答No.1

himajin2005_RC4

#意外にに苦戦した

(a＾2)＋(b＾2)≦1をみたす実数a,bに対して、2次方程式
(x＾2)＋2ax＋b-1=0 ……(1)
が与えられているとき

ア。方程式(1)は実数解をもつことを示す方法

(a＾2)＋(b＾2)≦1であるとき

0<(a^2)≦1-b^2

(1)が解を持つためには
判別式D
=(2a)^2-4(b-1)
=4a^2-4b+4≧0
よってa^2≧b-1である必要がある

このことから
この命題が正しいことを示すには

0<(a^2)≦1-b^2を満たすaが必ず
a^2≧b-1を満たす・・・・A
ことを示せばよい。

さて、仮定から-1≦b≦1であるから
-2≦b-1≦0であり、Aが正しいことが分かる。

よってこの命題は正しい。

補足

質問の仕方が変になってすいません。
あの。
、-1≦b＜0 と0≦b≦1 で場合分けの方法をおしえていただけませんか？
わからなくて。