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算数の質問です。宜しくお願い致します。
noname#212313の回答
中学数学ですと、集まった1ドル札の枚数を変数として、x（エックス）枚と置いて式を作り、簡単に解けるのですが、算数なので変数を使わないで考えてみます。 > 学童を科学博物館へ見学する資金を募るために、先生はクラスの学生に鉛筆一本を1ドルで売りました。 問題の前提ですね。1ドル札が何枚か集まった。その枚数を求めたい。 > それらの１ドル札を、先生は2つの等しい1ドル札束に束ねようとしましたが、1ドルが残りましたした。 偶数ならちょうど等しいように二つに分けられるわけですが、1枚余るということは、1ドル札の枚数は奇数です。 > 先生は3つの等しい１ドル札束に束ねようとしましたがやはり１ドルが残りました、 3等分できたら3の倍数になるわけですが、1枚余ってしまった。ということは、3の倍数に1を足した枚数です（3の倍数から2を引いたと考えてもよい）。 >4束と5束を試しましたが、やはり1ドルが残りました。 同じく、4の倍数に1を足した数ということになります。 5の倍数に1を足した数でもあるということです。 > ですが１ドル札を7束に束ねると１ドル札束は等しくまとまり、１ドルは残りませんでした。 集まった1ドル札を7等分できたということですね。つまり、7の倍数です。他の場合は1余るのに対し、この7等分だけは違っています。 整理してみると、 １）元の数（1ドル札の枚数）を2、3、4、5で割ると1余る。 ２）元の数7で割ると割り切れる。 ということになっています。１について考えてみます。 元の数（1ドル札の枚数）を、2、3、4、5のどれで割っても1余るということは、どういう数なのか。 2と3だけで考えてみると、例えば7は2や3で割って1余ります。13もそうです。探していくと、7、13、19、25と出てきます。これは6の倍数に1を足した数ですね。6は2と3の最小公倍数です。2と4で考えると、5、9、13、17となります。4の倍数に1を足した数ですが、2と4の最小公倍数は4ですね。 2、3、4、5のどれで割っても1余るということは、2と3と4と5の最小公倍数で割って1余るということになります。上述したように4は2の倍数ですから、最小公倍数は、 3×4×5＝60 ということになります。60の倍数に1を足した数が、元の数（1ドル札の枚数）になります。 7等分できたことを考えると、60の倍数に1を足した数が7で割り切れれば、元の数ということになります。順番に確かめてみましょう。 60×1＋1＝61→7で割り切れない（商8 余り5） 60×2＋1＝121→7で割り切れない（商17 余り2） 60×3＋1＝181→7で割り切れない（商25 余り6） 60×4＋1＝241→7で割り切れない（商34 余り3） 60×5＋1＝301→7で割り切れる（商43 余り0） 301枚が問題文の条件を満たします。まず「答：301ドルを43人から集めた」が出ます。でもこれだけなのか？ さらに確かめてみます。 60×6＋1＝361→7で割り切れない（商51 余り4） 60×7＋1＝421→7で割り切れない（商60 余り1）←7を掛けてるから1余るのは当然 60×8＋1＝481→7で割り切れない（商68 余り5）←余りが61のときと同じ！ 60×9＋1＝541→7で割り切れない（商77 余り2）←余りが121のときと同じ！ 60×10＋1＝601→7で割り切れない（商85 余り6）←余りが281のときと同じ！ 60×11＋1＝661→7で割り切れない（商94 余り3）←余りが241のときと同じ！ 60×12＋1＝721→7で割り切れる（商103 余り0）←余りが301のときと同じ！ すると、「答：721ドルを103人から集めた」も出ます。103人は1クラスではちょっと多い人数に思えますが、これは算数の問題です。問題文にはクラスの人数が何人以下といったことは書いてありません。ならば、これも正解です。 余りを数列として見てみると、「5、2、6、3、0、4、1、5、2、6、3、0、…」となっています。これは余り0を最初の数に選んでみると、「0、4、1、5、2、6、3」の7個の数が繰り返される数列です。 ということは、上記の計算をさらに続けると、7個ごとに問題文の条件を満たす1ドル札の枚数とクラスの人数が出て来ることになります。 問題条件を満たした二つから、1ドル札の枚数は721－301＝420、人数は103－43＝60と計算すると、答は以下のようになります。 「301ドルを43人から集めたのが最小の答。さらに、301ドルに420ドルの倍数を足した場合は全て答で、そのときの人数は43人に60人の倍数を足した人数が答。ただし、420を2倍なら60も2倍というように、倍数の作り方は合わせる。」 ややこしいですが、これが問題文の条件をきっちり満たす、最後の答になります。 P.S. この最後の答は中学数学では、変数を使った1次方程式で解くと、明快に出てきます。
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