【高校数学】数列

質問

全ての自然数nについて、次の式が共に成立する時、一般項anを求めよ。
an>0
a1^3+a2^3+…+an^3=(a1+a2+…an)^2

この問題が分からなくて考え込んでしまっています。良かったら解き方を教えてくださると助かります(>_<)よろしくお願いいたします。

両辺Σを取ってみたものの、、という感じです。

回答No.2

noname#232123 · ベストアンサー

n=1 とすると、a[1]>0 より、a[1]=1 です。
(与式) ⇔ Σ[m=1 to n]{a[m]}^3={Σ[m=1 to n]a[m]}^2.
これにおいて、Σ[m=1 to n+1]{a[m]}^3={Σ[m=1 to n+1]a[m]}^2 から引いて、
{a[n]}^3={X+a[n]}^2 - X^2=2*X*a[n]+{a[n]}^2 ...(*)
ただし、X=Σ[m=1 to n]{a[m]} です。

これから、a[n]=n との予想ができます。あとは・・・。

a[k]=k とします。このとき(*)より、
{a[k+1]}^2 - a[k+1]=2{a[1]+a[2]+...+a[k]}=2*Σ[m=1 to k]m=k(k+1) ⇔
{a[k+a]+k}{a[k+1] - (k+1)}=0.
すなわち、a[k+1]=k+1.

以上より、a[n]=n, (n=1, 2, ...)

回答No.1

B-juggler

ぱっと見は簡単そうだけど、やったら大変かも？という問題ですね。

こういうときの考え方の一つで、

「いきなり全体を考えない」としておくと楽だよ？

ざっとした形を見つけるために、ｎ＝１　のときどうなる？

ａ１＾３＝ａ１＾２　だね　（与式）は。

どう考えたって、ａ１＝１　で瞬間だ＾＾；

こういうことね？　わかった？　ｎ＝２のときどうなるかを考えてみたら？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)