中学数学

質問

数学で分からない問題があります。

図のように、円Oの周を6等分する点A、B、C、D、E、Fを頂点とする
正六角形ABCDEFがあり、１辺の長さは3cmである。
線分AEと線分DFの交点をG、2点C、Gを通る直線と線分AD、EFとの交点を
それぞれH、Iとする。
このとき、次の問に答えよ。
（1）線分AEの長さを求めよ。
（2）HG:GIを最も簡単な整数の比で表せ。
（3）AH:HDを最も簡単な整数の比で表せ。また、△CDHの面積を求めよ。

解き方と答えを教えていただきたいです。お願いします！

回答No.1

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞（1）線分AEの長さを求めよ。

３√３

三角形AOFを考えた時、三角形AOFは正三角形。辺OFは線分AEに直交し、その交点は辺OFを二等分する。

線分AEは三角形AOFの高さの２倍であるので、直角三角形の３平方の定理より求まる。

＞（2）HG:GIを最も簡単な整数の比で表せ。

三角形FGI、三角形DHG、三角形AEFは、すべて相似な二等辺三角形である。

それぞれの一番長い辺（底辺）FG、DG、AEの比を求めると、HG:GIの比が判る。

＞（3）AH:HDを最も簡単な整数の比で表せ。

(2)を解くと、自動的にHDの長さが判る。ADは6cmなので比はAHは6-HD。

＞また、△CDHの面積を求めよ。

三角形CDGは、底辺が3cm、高さがDGの直角三角形。DGは(2)を解くと求まるので、三角形CDGの面積が求まる。

DGの長さが求まっているなら二等辺三角形DGHの面積も(2)の比から求まる。

後は、三角形CDGの面積から三角形DGHの面積を引くと、三角形CDHの面積が求まる。

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＞解き方と答えを教えていただきたいです。お願いします！

補助線を引いて、どこに直角があるか、どこに直角三角形があるか、どこに二等辺三角形があるか、考えてみよう。

回答No.2

KEIS050162

（1）線分AEの長さを求めよ。
△AEDが直角三角形（正三角形の半分）であることに気付けば簡単。
（△AEDの∠Eは直径の円周角。∠Dは正六角形の一つの角の半分）
AD=6、DE=3なので、AE=3√3

（2）HG:GIを最も簡単な整数の比で表せ。
△GADと△GFEが相似で、辺ADと辺EFは2:1。
△GDHと△GIFも相似で、各辺の比は2:1
（相似の証明等々はかなり端折ってますが分かりますよね？）
なので、HG:GI=2:1

（3）AH:HDを最も簡単な整数の比で表せ。また、△CDHの面積を求めよ。
補助線としてCIの延長線と、AFの延長線を引きそのの交点をJとする。
△GCDと△GJFは相似で、２）より、CD:JF=2:1なので、JF=1.5

△HCDと△HJAも相似で、辺の比は3:(3+1.5)=6:9
従って、AH:HD=9:6
（これも相似の証明等々はかなり端折ってますが、正六角形なのでそれぞれ相対する各辺は並行になりますから、分かりますよね？）

△CDHの面積は、平行線BCとADの高さが3√3/2（一片が3の正三角形の高さ）で、
底辺DHが、３）から6×6/(6+9)=12/5と分かりますので、これから計算できます。

12/5×3√3/2÷2=9√3/5

この手の問題は、３）のヒントが２）に。２）のヒントが１）になっている場合が多いので、その辺りから攻略すると解き易いと思います。
計算間違ってたらごめんなさい。