中学生の数学 証明問題

質問

中学生の問題ですが、解けません。どうぞご指導ください。問題　正方形ＡＢＣＤにおいて2つの対角線の交点をＥとする。辺ＣＤ上に２点Ｃ，Ｄと異なる点Ｆをとり、線分ＢＦと線分ＡＣとの交点をＧとする。点Ａから線分ＢＦに垂線ＡＨを引き、線分ＡＨと線分ＢＤとの交点をＩとする。Ｑ1　ＡＩ＝ＢＧであることを△ＡＩＥと△ＢＧＥが合同であることを証明して示しなさい。Ｑ２　ＢＨ＝2Ｃｍ　ＨＧ＝3Ｃｍ　であるとき正方形の面積を求めなさい。
Ｑ１は解けました。Ｑ2が解けません。答えは40cm2ですが、解き方がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#215361 · ベストアンサー

三角関数を使わずに解けました。
この方がずっと簡単でした。

AI=BG=2+3=5
AE=BE=xとすると、△AIEが直角三角形であることから、三平方の定理によって、
IE^2=5^2-x^2=25-x^2―(1)
BE=BI+IE=xなので、IE=x-BI―(2)
また、△AIEと△BIHは、2角がそれぞれ等しく相似なので、BI/2=5/x→BI=10/x―(3)
(1)(2)(3)から、IE^2=25-x^2=（x-10/x）^2
25-x^2=（x-10/x）^2の右辺を展開して、
25-x^2=x^2-20-100/x^2
ここで、x^2=yとすると、次のようになる。
25-y=y-20-100/y
両辺にyをかけて整理すると、
2y^2-45y-100=0
（2y-5）（y-20）=0
y=5/2，20

正方形の面積は、x^2/2*4=2x^2=2y
y=5/2とすると、2y=5
ここで、AI=5であることから、正方形の1辺の長さは5よりも長くなり、面積は5^2=25よりも大きくなければならないので、これは不適。
y=20とすると、2y=40となって適。
よって、答えは40cm2。

お礼

早速明快な解説をどうも有難うございました。中学生の問題なので、相似とか面積比とかを使って解くことばかりに注力していました。やはり２次（４次）方程式で解くことになるのですね。御指導に感謝します。

回答No.2

yyssaa

＞△AIE≡△BGEだからAI=BG=BH+HG=5(cm)
EI=EG=x(cm)、BI=y(cm)とすると、△BHI∽△BEGだから
BI/BH=BG/BE、y/2=5/(x+y)→y(x+y)=10・・・・・(ア)
△AIEで三平方の定理によりAI^2=EI^2+AE^2
AE^2=BE^2=(x+y)^2だから
5^2=x^2+(x+y)^2=2x^2+2xy+y^2・・・・・(イ)
(ア)よりx=10/y-y、x^2=100/y^2-20+y^2を(イ)に代入
25=2(100/y^2-20+y^2)+2(10/y-y)y+y^2、整理すると
y^4-45y^2+200=0解いて(y^2-40)(y^2-5)=0、y＞0だから
y=√5又はy=√40=2√10となるが△BEGでBE=x+y＜BG=5で
0＜xだからy＜5であり、y=2√10＞6は除かれるので
y=√5となる。(ア)に代入してx=10/y-y=10/√5-√5=√5
よってBE=AE=x+y=2√5
正方形の面積=2*AE*BE=2*(2√5)^2=40(cm^2)・・・答

お礼

早速明快な解説をどうも有難うございました。中学生の入試想定問題だったので、相似とか面積比とかを使って解くことばかりに注力しました。やはり方程式で解くことになるのですね。御指導ありがとうございます。

回答No.1

noname#215361

念のための確認ですが、三角関数を使ってはいけないのですよね。
三角関数を使えば解けましたが…。