中学数学の問題です。

質問

比が出てくるとよくわからなくなります。教えてほしいです。
AD＜AE、AD：EB＝1：2　、DF//AC、EF//BCです。
（１）AD＝１cmのとき三角形ABCから三角形DEFを除いた部分の図形の面積を求めよ。
（２）三角形ABCから三角形DEFを除いた残りの部分の図形の面積が、三角形ABCの面積の36％であるとき、線分ADの長さを求めよ。
どうぞお願いします。

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

補足コメント：正三角形という条件が必要でした。
（１）AD＝１cmのとき(正)三角形ABCから三角形DEFを除いた部分の図形の面積を求めよ。
＞AD：EB＝1：2だからAD＝１cmならEB=2cm。
AB=AC=5cmだからDE=AB-AD-EB=5-1-2=2cm。
AからBCに下ろした垂線の足をGとすると、三平方の定理により
AC^2=AG^2+GC^2だから5^2=AG^2+(5/2)^2、AG=5√3/2
△ABCの面積=(1/2)*BC*AG=(1/2)*5*5√3/2=25√3/4(cm^2)。
△DEF∽△ABCであり、相似である2個の図形の面積の比は2個の
図形の辺の長さの比の二乗に比例するので、△DEFと△ABCの
辺の長さの比は2:5だから△DEFの面積と△ABCの面積の比は
4:25になり、△DEFの面積=(25√3/4)*(4/25)=√3(cm^2)。
よって求める面積は25√3/4-√3=21√3/4(cm^2)・・・答
（２）三角形ABCから三角形DEFを除いた残りの部分の図形の面積が、
三角形ABCの面積の36％であるとき、線分ADの長さを求めよ。
＞ADの長さをx(cm)とするとBE=2x(cm)だからDE=5-3x(cm)。
(1)と同様に△DEFの面積を計算すると、両三角形の辺の比が
(5-3x):5だから面積の比は(5-3x)^2:25となり
△DEFの面積=(25√3/4)*{(5-3x)^2/25}=(√3/4)*(5-3x)^2(cm^2)
よって三角形ABCから三角形DEFを除いた残りの部分の図形の面積は
25√3/4-(√3/4)*(5-3x)^2(cm^2)。これが三角形ABCの面積の36％
だから(25√3/4)*0.36=25√3/4-(√3/4)*(5-3x)^2、これを解くと
0.64*25=(5-3x)^2、(0.8*5)^2=(5-3x)^2、5-3x=±0.8*5=±4
5±4=3x、x=3、x=1/3。
x=3ではAD+EB=9＞5=ABとなるので、x=1/3。AD=1/3(cm)・・・答

回答No.4

ORUKA1951

図形の形に依存せず相似形の場合、常に面積は長さの二乗に比例し、体積は長さの三乗に比例します。
　ふたつの三角形は相似ですから、小さい三角形の対応する辺の長さは、
（１）AD＝１cmのとき三角形ABCから三角形DEFを除いた部分の図形の面積を求めよ。
【問題文ではA-Bの長さが不定ですから】A-Bの長さをXとすると
　DE:AB = (X-1-2);X
　△DEF : △ABC = (X-1-2)²;X²
　になります。
　　面積は、これから計算すれば良いですね。

（２）三角形ABCから三角形DEFを除いた残りの部分の図形の面積が、三角形ABCの面積の36％であるとき、線分ADの長さを求めよ。
　同様に解けると思います。

回答No.3

info222_

(1)
AD=1(cm), EB=2AD=2(cm)
DE=AB-(AD+EB)=AB-3(cm)
△DEF/△ABC=DE^2/AB^2=(AB-3)^2/AB^2
△DEF=△ABC・{1-(3/AB)}^2
S=△ABC-△DEF=△ABC・[1-{1-(3/AB)}^2]
この問題文のままではこれが答になります。

もし、△ABCが正三角形であるという条件が問題文に付け加えられれば
　AB=AC=5(cm),
　△ABC=(1/2)・5・5・(√3/2)=25√3/4
となるから、この場合には
　S=(25√3/4)・[1-{1-(3/6)}^2]
　　=(25√3/4)・[1-{1-(1/2)}^2]
　　=(25√3/4)・(3/4)
　　=75√3/16 (cm2)
となります。

(2)
S/△ABC=(△ABC-△DEF)/△ABC=36/100
△DEF/△ABC=(100-36)/100=64/100=0.64
=(ED/AB)^2
=[{AB-(AD+EB)}/AB]^2
=[(AB-3AD)/AB]^2
=[1-3(AD/AB)]^2
=0.64=0.8^2

1-3(AD/AB)=0.8
3(AD/AB)=1-0.8=0.2
AD=(2/30)AB=AB/5　(cm)
問題文がこのままで他に条件が与えられていなければこれが答えになります。

もし、△ABCが正三角形またはAB=ACという条件が付け加えられた場合には
　AB=AC=5(cm)
となるので
　AD=AB/15=5/15=1/3　(cm)
となります。

＃）多分、問題文には、
「△ABCが正三角形である」という条件
の書き忘れミス
があるのでしょう。そうなら、補足等で訂正しておいてた方がいいでしょう。

補足

すみません。△ABCは正三角形でした。変な時間を費やさせてごめんなさい。

回答No.2

hashioogi

⊿DEFを辺ABに沿って上に移動させて、AとDを重ねてみましょう。
どちらも残った面積は同じはずですよね ?

回答No.1

yyssaa

正三角形という条件が必要では？

補足

ごめんなさい。正三角形という条件が必要でした。