数学の、定積分で表された関数の問題です

質問

定数関数でない関数 ｆ（ｘ）が、ｆ（ｘ）＝ｘ²－∫[0→１]｛ｆ（ｔ）＋ｘ }²dx　を満たすとき、f(x)を求めなさい。（解き方の解説もよろしくお願いします）

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

問題の式に間違いがあるようです。回答者から指摘を受けたら
指摘を吟味の上、問題を補足訂正するのが、質問者としてのマナーですよ。

もし、No.2さんも指摘されているように、
問題文の正しい式が
f(x)＝ｘ^2 -∫[0→１]｛f(t)+x}^2 dt ...(1)
であれば、以下のようにf(x)を求めることができます。

(1)の積分を実行して
f(x)=x^2-∫[0→１]｛x^2+2xf(t)+(f(t))^2} dt
=x^2-x^2∫[0→１] 1dt-2x∫[0→１] f(t)dt-∫[0→１](f(t))^2 dt

ここで定積分の項は定数となるので、それぞれk1,k2とおくと
f(x)=x^2-x^2-2xk1-k2
=-2xk1-k2 ... (2)
ここで, f(x)は定数関数ではないのでk1≠0 ...(3)
k1=∫[0→１] f(t)dt
＝∫[0→１](-2tk1-k2)dt=-k1-k2
∴k2=-2k1 ... (4)
(2)より　f(x)=-2xk1+2k1 ...(5)
また (4),(5)より
k2=-2k1
=∫[0→１] {f(t)}^2 dt
=4k1^2 ∫[0→１] (-t+1)^2 dt
=4k1^2 ∫[0→１] (t-1)^2 dt
=4k1^2 [(1/3)(t-1)^3][0→１]
=4(k1^2)(1/3)
=(4/3)k1^2
∴ -2k1=(4/3)k1^2
(3)よりk1≠0なので 2k1で割ると
(2/3)k1=-1
∴ k1=-3/2 ...(6)
(5)に代入
f(x)=3x-3 ... (答)

と求まる。
なお、(4)より k2=3

お礼

式の最後は正しくはdtで、失礼しました。どうも有り難うございました。

回答No.2

rnakamra

右辺の定積分が何か不自然。
多分xではなくtでの積分だと思う。

そこで問題を
f(x)=x^2-∫[0→1]{f(t)+x}^2dt
であるとして解き方を説明します。

右辺を変形していきます。
f(x)=x^2-∫[0→1]{f(t)+x}^2dt
=x^2-∫[0→1][{f(t)}^2+2xf(t)+x^2]dt
=x^2-[∫[0→1]{f(t)}^2dt+2x∫[0→1]f(t)dt+x^2∫[0→1]dt] //xは積分する変数tとは独立なので積分においては単なる定数とみなせる

ここで
∫[0→1]{f(t)}^2dt=a (1)
∫[0→1]f(t)dt=b (2)
とおく。
∫[0→1]dt=1
であるから、x^2の項は消え、元の式は
=-bx-a
となる。

f(x)=-bx-a を(1),(2)に代入して積分を計算するとa,bの連立方程式が得られる。
それを解けばよい。

お礼

正しくはtでの積分で、失礼しました。どうも有り難うございました。

回答No.1

info222_

>f(x)=x² -∫[0→１] {f(t)+x}² dx
被積分関数の中のf(t)の変数 t は x の間違いでは？
f(t)は t の関数で定数ではないのでxで定積分しても
右辺にtが残ってしまいます。
問題に間違いがないか、確認してみてください。

訂正して
f(x)=x² -∫[0→１] {f(x)+x}² dx
であるとして解答します。

∫[0→１] {f(x)+x}² dxは定積分なので定数となるので、
この定数をkとおくと

f(x)=x² -k ...(※)
k=∫[0→１] {f(x)+x}² dx=∫[0→１] {x² -k+x}² dx
=∫[0→１] {x^4+2x^3+(1-2k)x^2-2kx+k^2} dx
=[(1/5)x^5+(1/2)x^4+(1/3)(1-2k)x^3-kx^2+xk^2][0→１]
=(1/5)+(1/2)+(1/3)-(2/3)k-k+k^2
=k^2-(5/3)k+(31/30)

k=k^2-(5/3)k+(31/30)
k^2-(8/3)k+(31/30)=0
30k^2-80k+31=0
k=(40±√670)/30

(※)より
f(x)=x^2 -(40+√670)/30
または
f(x)=x^2 -(40-√670)/30