定積分で表された関数

質問

関数f(x)が∫[x~a]f(t)dt=3x^3-4x^2-7xを満たすとき
f(x)とaの値を求めよ。

という問題です。
f(x)=9x^2-8x-7　ですよね(>_<)
aの値がわかりません！
教えてください。

回答No.3

stomachman

素直にやればいいんです。
g(x)=3x^3-4x^2-7x
とし、fの原始関数をFとすると、問題の式は
F(a)-F(x)=g(x)
である。
　この恒等式が成り立つようなaがもし存在するのであれば、両辺を微分して
-f(x)=dg/dx
でf(x)が決まる。(もしそのようなaが存在しなければ、当然、fは決まらない。）
　さてFは
f(x)=-dg/dx
の両辺を不定積分して
F(x)=-g(x)+C
である。だから
F(a)-F(x)=g(x)-g(a)
従って、問題の式が成り立つためにはaは方程式
g(a)=0
の実数解でなくてはならない。そのようなaを全て求む。
…ということですね。

回答No.2

Tacosan

a の値自体は f(x) とは関係なく求まります. 積分範囲の大きさが 0 なら被積分関数によらず定積分は 0 になる.

回答No.1

proto

もし積分区間がxからaまでならば、
　　f(x) = -9x^2+8x+7
となるんじゃないかな。

aの値は、求めたf(x)の式を左辺に代入して
　　∫[x~a]f(t)dt
を実際に計算してから、右辺と比較すれば求まるでしょう。
aの値によって定数項に変化があるはずです。そこに注目しましょう。