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逆関数の定積分について

高校3年の男子です。いきなりですいませんが、 f(x)=(x*√2)/√(1+x^2) のとき、f(x)の逆関数の 区間[0,1]における定積分の値を求めよ。 という問題がわかりません。f(x)の逆関数を出すにしても 出せくてお手上げ状態です。そもそもこの問題は、f(x)の逆関数を 出さずに求めるものなのでしょうか。 すいませんが、ヒントだけでもいいので教えて頂けないでしょうか。

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f(x)=(x*√2)/√(1+x^2) y = f(x) の逆関数は x = f^(-1)(y) で、表すグラフそのものは同じです ∫[0,1]{f^(-1)(y)}dy であったら置換積分で x = f^(-1)(y) このとき y = (x*√2)/√(1+x^2) から dy,dx のを求めて、範囲をグラフから出してやればでるはずです。

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質問者からのお礼

なるほど!確かに逆関数を表すグラフは基本的に同じですね! ありがとうごさいます。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2

まず、求めたい部分をf(x)のグラフを書いて図示してみましょう。 このときに、f(x)がはっきり分からなくても、f(x)'>0なので、{0,1}単調増加であることを使えば、詳しく書く必要は無い。 あとは、四角形の部分と、1-∫f(x)の部分を別々に計算すれば出せるとおもいます。

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  • 回答No.1
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

不定積分で原始関数を求めるのは面倒ですが、定積分なので、 1-∫(0,1)f(x)dxを計算すればよいのでは。 グラフを描いてみると、0≦x≦1、0≦y≦1の四角形で、グラフの 上側の面積を求めている。

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