∫(a)（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ＾２＋１０ｘ＋８を満たす関数ｆ（ｘ）とa

質問

∫(a)（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ＾２＋１０ｘ＋８を満たす関数ｆ（ｘ）とaの値を求めよ。
　この問題がどうしても分かりません。どうか教えて頂きたいと思います。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

わからないですか。
そういうときは、実験してみましょう。
今回の問題からは離れて、一例を挙げます。

たとえば
ｆ（ｘ）　＝　ｘ^3　＋　ｘ^2　＋　ｘ　＋　１
だとします。
単にｘをｔに書き換えてもよいです。
ｆ（ｔ）　＝　ｔ^3　＋　ｔ^2　＋　ｔ　＋　１

両辺をｔで不定積分すれば、
∫ｆ（ｔ）ｄｔ　＝　ｔ^4／４　＋　ｔ^3／３　＋　ｔ^2／２　＋　ｔ　＋　Ｃ

よって、ｔ＝ａ　から　ｔ＝ｘ　までの定積分は、
∫[t=aからxまで]ｆ（ｔ）ｄｔ
　＝　（ｘ^4／４　＋　ｘ^3／３　＋　ｘ^2／２　＋　ｘ　＋　Ｃ）
　　　　　－　（ａ^4／４　＋　ａ^3／３　＋　ａ^2／２　＋　ａ　＋　Ｃ）
　＝　（ｘ^4／４　＋　ｘ^3／３　＋　ｘ^2／２　＋　ｘ）
　　　　　－　（ａ^4／４　＋　ａ^3／３　＋　ａ^2／２　＋　ａ）

後ろのかっこの中はｘが入らないａだけの式です。つまり、定数です。
したがって
∫[t=aからxまで]ｆ（ｔ）ｄｔ　＝　（ｘ^4／４　＋　ｘ^3／３　＋　ｘ^2／２　＋　ｘ）　－　定数

両辺をｘで微分すれば、

∫[t=aからxまで]ｆ（ｔ）ｄｔ　の微分　＝　（ｘ^4／４　＋　ｘ^3／３　＋　ｘ^2／２　＋　ｘ　＋　Ｃ）　－　定数｝　の微分

∫[t=aからxまで]ｆ（ｔ）ｄｔ　の微分　＝　ｘ^3　＋　ｘ^2　＋　ｘ　＋　１

右辺をよく見ると、最初に掲げたｆ（ｘ）とまったく同じなので、
∫[t=aからxまで]ｆ（ｔ）ｄｔ　の微分　＝　ｆ（ｘ）

お礼

回答ありがとうございました。
　実は昨日、積分をはじめから復習して自力で解くことが出来ました。
　イヤー難しいモノですね。でも非常にすっきりしております。
　∫[t=aからxまで]ｆ（ｔ）ｄｔ　の微分　＝　ｆ（ｘ）はとてもすっきりした考え方ですね。
　勉強になりました。

回答No.1

sanori

こんにちは。

∫(a)（ｘ）って何ですか？
ｔ＝ａからｔ＝ｘまでの定積分ということでしょうか？
仮にそうだとして説明します。

∫[t=a⇒x]ｆ（ｔ）ｄｔ　＝　ｘ＾２＋１０ｘ＋８
両辺をｘで微分すれば、
ｆ（ｘ）　＝　２ｘ　＋　１０　　　←１つ目の答え

あとは何とかなるのでは。

お礼

回答ありがとうございます。
　しかし、なかなか理解できないでいます。もう少しヒントをお願いします。