f(x)が連続であるとき、つぎの関数の微分をfを用

質問

f(x)が連続であるとき、つぎの関数の微分をfを用いて表せ。
(1)d/dx∮[x→2x]t*f(t^2)dt

これの解き方を教えて下さい。合成関数の微分を用いると書いてますがどうするのかさっぱりです。よろしくお願いします。(解答は4x*f(4x^2)-x*f(x^2)です)

回答No.2

178-tall

参考 URL
　　↓　定積分で表された関数の微分の公式
　 d　 x
　― ∫ f(t)dt = f(x)
　dx　 0
… を盗用。

　 d　2x
　― ∫ t*f(t^2) dt = 2x*f(4x^2) - x*f(x^2) = x{ 2x*f(4x^2) - f(x^2) }
　dx　 x

参考URL：

https://mathtrain.jp/teisekibibun

回答No.1

jcpmutura

(1)
不定積分をF(t)=∫t*f(t^2)dtとすると
dF(t)/dt=t*f(t^2)
F(2x)-F(x)=∫[x→2x]t*f(t^2)dt
dF(2x)/d2x=2x*f(4x^2)
d2x/dx=2
dF(x)/dx=x*f(x^2)
だから
(d/dx)∫[x→2x]t*f(t^2)dt
=(d/dx){F(2x)-F(x)}
=(d/dx)F(2x)-(d/dx)F(x)
={dF(2x)/d2x}(d2x/dx)-dF(x)/dx
={2x*f(4x^2)}*2-x*f(x^2)
=2{2x*f(4x^2)}-x*f(x^2)
=4x*f(4x^2)-x*f(x^2)