数IIの問題です

質問

関数f(x)=x^2-3x+2があり、f(x)の不定積分をF(x)とする。
tを1<tの定数として、g(t)=∫［0→t］|f(x)|dxとする
1<t≦(1)のとき、g(t)=(2)/(3)t^3+(4)/(5)t^2-(6)t+(7)/(8)

(1)<tのときg(t)=(2)/(3)t^3+(4)/(5)t^2-(6)t+(9)/(10) である。

(1)から(10)の解説をお願いします！

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

積分区間[0～t]の右端であるtが、1 ＜ tをキープしながら
移動していますから、先のグラフから、「t = 2のときに何となく変わりそうだな」
という見当がつきそうです。
さて、1 ＜ t ≦ 2のとき、
g(t) = ∫[0～t] | f(x) | dx
= ∫[0～1](x^2 - 3x + 2)dx + ∫[1～t](-x^2 + 3x - 2)dx
= [x^3/3 - 3x^2/2 + 2x][0～1] + [-x^3/3 + 3x^2/2 - 2x][1～t]
= 1/3 - 3/2 + 2 + (-t^3/3 + 3t^2/2 - 2t) - (-1/3 + 3/2 - 2)
= -t^3/3 + 3t^2/2 - 2t + 5/3
2 ＜ tのとき、
g(t) = ∫[0～1](x^2 - 3x + 2)dx + ∫[1～2](-x^2 + 3x - 2)dx + ∫[2～t](x^2 - 3x + 2)dx
= 5/6 + [-x^3/3 + 3x^2/2 - 2x][1～2] + [x^3/3 - 3x^2/2 + 2x][2～t]
= 5/6 + (-8/3 + 6 - 4) - (-1/3 + 3/2 - 2) + (t^3/3 - 3t^2/2 + 2t) - (8/3 - 6 + 4)
= t^3/3 - 3t^2 + 2t + 1/3

何か問題文の提示と符号が食い違っているところがありますが、
きっとこちらの勘違いでしょう。

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

info33

> tを1<tの定数として、g(t)=∫［0→t］|f(x)|dxとする
>1<t≦(1)のとき、g(t)=(2)/(3)t^3+(4)/(5)t^2-(6)t+(7)/(8) ... [1]

>(1)<tのときg(t)=(2)/(3)t^3+(4)/(5)t^2-(6)t+(9)/(10) ... [2]
>である。
>(1)から(10)の解説をお願いします！

(1)=2 はいいとして
[1] の g(t)= -(1/3)t^3/3+(3/2)t^2-2t+5/3
[2]の g(t)=(1/3)t^3 -(3/2)*t^2+2*t+1/3
となるので, [1]と[2]を同時に満たす (2)~(6) は存在しません。
なので問題の出題ミスですね。

#) 計算はNo.2 さんので合っているでしょう。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

asuncion

まずはグラフの概形をかきましょう。
色が変で申し訳ありませんが、添付図のとおり、
| f(x) |のグラフは、f(x) = x^2 - 3x + 2のグラフの
x軸より下の部分を反転させたものになります。
まず、ここまではいいですか？