数学の専門家が嫌がるδ関数の使用理由とは？
- 数学の専門家がδ関数(デルタ関数)を嫌がる理由について解説します。
- δ関数とは、数学的に厳密に定義されていない関数であり、その特性から扱いが難しいため、専門家が嫌がるのです。
- また、δ関数を使用すると、計算が複雑になり、理解が難しくなることもあります。
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δ関数(デルタ関数)を数学の専門家が嫌がるのは何故?
α(x)=x+[x]([ ]はガウス記号) ∫[1..3]e^xdα(x)=∫[1..3]e^xd(x+[x]) =∫[1..3]e^xdx+∫[1..3]e^xd[x](∵Riemann-Stieltjesの性質) =e^3-e^1+∫[1..3]e^xd(I(x-1)+I(x-2)+I(x-3))(但し,I(x-t)は単位ステップ関数I(x-t):=1(x≧tの時),0(x<tの時)) =e^3-e^1+∫[1..3]e^x(δ(x-1)+δ(x-2)+δ(x-3))dx =e^3-e^1+∫[1..3]e^xδ(x-1)dx+∫[1..3]e^xδ(x-2)dx+∫[1..3]e^xδ(x-3)dx =e^3-e^1+e+e^2+e^3(∵δ関数の性質∫[a..b]f(x)δ(x-t)dx=f(t)(但しa<t≦b)) =2e^3+e^2 となろうかと思います。 この問題で数学の専門家はδ関数(δ(0)=∞,δ(x)=0(但しx≠0),∫[-∞,+∞]δ(x)dx=1) を使うのを嫌がると小耳に挟んだのですがそれは何故なのでしょうか?
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はっきりいえばδ関数は数学では関数ではないからです。 0以外で値が0であれば、0での値が何であろうと積分すれば0になります。 つまり δ(0)=∞,δ(x)=0(但しx≠0),∫[-∞,+∞]δ(x)dx=1 をδ関数の定義にはできません。これは便宜上のもので数学的に正確なモノではないのです。 数学ではδ関数は distribution(シュワルツの超関数ともいう) として定義されていて、distribution としてあつかって計算していれば、誰も文句を言いません。 distribution の定義をここで正確に述べるのは無理ですが、あなたが δ関数の性質∫[a..b]f(x)δ(x-t)dx=f(t) と書かれていたものの方が、δ関数の定義(積分ではなく distribution として解釈する必要があるが)になるわけです。
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