解法を教えてください

質問

OA=3,OB=2である平行四辺形OABCの辺OAを１：２に内分する点をE,ACの中点をFとする。このとき、ODベクトル＝1/3OAベクトル、ＤＥベクトル＝－1/3ＯＡベクトル＋3/4ＯＢベクトル
次に、直線ＤＥ上の点をＰとし、ＯＰベクトル＝ｓＯＡベクトル＋ｔＯＢベクトル（ｓ、ｔは実数）とすると、ｓ、ｔの間には関係式（１）＝１が成り立つ。さらに、3点Ｏ，Ｐ，Ｆが一直線上にあるとき、
ＯＰベクトル＝3/11OAベクトル+3/22OBベクトルであり、なおかつ、線分ＯＰの長さが21/22のとき、
ＯＡベクトル・ＯＢベクトル＝（２）である。

答えは
（１）３ｓ＋４/３ｔ
（２）9/4

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

文脈的に、問題文は
* 「平行四辺形OABC」ではなく「平行四辺形OACB」 (四角形の頂点の順番には意味があります)
* 「辺OAを１：２に内分する点をE」ではなく「辺OAを１：２に内分する点をD」
の誤りではないかと思います。

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(記号)
vec(XY) は、XYベクトル、つまり、X→Y のベクトルを表す事にする。
また、vec(XY)^2 は vec(XY)・vec(XY) の内積を表す事にする。

(1)
vec(OE) = vec(OD) + vec(DE) = (3/4) vec(OB),
点D (vec(OD)) と点E (vec(OE)) を結ぶ直線の方程式は以下の様になる。
　vec(OP) = u vec(OD) + v vec(OE) (u+v=1)
　　= (u/3) vec(OA) + (3v/4) vec(OB)
問題文の vec(OP) = s vec(OA) + t vec(OB) と比較すると s = u/3, t = 3v/4 と分かる。
つまり、u = 3s, v = (4/3) t になるが、これを u+v=1 に代入する。
　u + v = 1,
　3s + (4/3) t = 1　…(i)■.

(1.5)
vec(OF) = vec(OA) + (1/2) vec(AC)
　= vec(OA) + (1/2) vec(OB)
O-P-F が一直線上にある
　∴ vec(OP) ∥ vec(OF) (但し∥は平行の意味)
　∴ s vec(OA) + t vec(OB) ∥ vec(OA) + (1/2) vec(OB)
　∴ s : t = 1: (1/2)　…(ii)
(i)と(ii)を連立させて解くと、s=3/11, t=3/22 となる。
　vec(OP) = (3/11) vec(OA) + (3/22) vec(OB)
　　= (3/22) (2 vec(OA) + vec(OB)).

(2)
vec(OP)^2 を考える。
　(21/22)^2 = vec(OP)^2
　　= (3/22)^2 (2 vec(OA) + vec(OB))^2.
よって、両辺 (3/22)^2 で割れば、
　7^2 = (2 vec(OA) + vec(OB))^2,
　49 = 4 vec(OA)^2 + vec(OB)^2 + 4vec(OA)・vec(OB),
　49 = 4×3^2 + 2^2 + 4vec(OA)・vec(OB),
　vec(OA)・vec(OB) = 9/4　■.

お礼

誤植すみませんでした。わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

問題文、これで間違いないですか？

お礼

間違ってました。すみません。