数学の図形の性質の問題教えて下さい！

質問

この画像の問題教えて下さい！
途中式など細かく丁寧に教えてください。
証明問題なので、それっぽくまとめていただけるとありがたいです。
ちなみにヒントは辺ＡＢに関して点Ｑと対象な点をとる。 らしいです。
本当に助けてください！お願いします！

回答No.1

sunflower-san

そのヒント、大ヒントですよ。

辺ABを軸に三角形ABCを折り返して、Cの折り返した点をDとしましょう。つまり、ACBDは正方形になるわけです。このときQの折り返した点をQ'とすると、Q'は辺ADの中点になりますね。

このとき、辺RQを折り返した辺がRQ'なので、当然RQとRQ'の長さは等しくなります。

つまり、PR+RQ=PR+RQ' となるわけです。

ということは、これを最短にするには折れ線PRQ'が真っ直ぐになるようにRをとればいいですよね。

PRQ'が一直線に並んでいるとすると、PQ' の長さは三平方の定理から簡単に分かりますね。

たとえば、Q'からBCに垂線をおろした点をSとすると、PS = 1、Q'S = 4 ですから、PQ' = √(1^2 + 4^2) = √17
という風に計算できます。
これがPRQ'(つまりPR+RQ)の最小値になります。

ちなみにこのときのRの位置ですが、PRQ'が一直線になるということから、
三角形BRP ∽ 三角形ARQ' で、相似比はBP : AQ' = 1 : 2 になります。

よってBR : RA = 1 : 2 となるようなRをとれば、PR+RQが最小値√17になるというわけです。

参考になったでしょうか。