集合 位相 について (数学) 教えてください

質問

位相数学についてです
f:A → B g:B→C とするとき
g ο f が全射ならば gは全射
g ο f が単射ならば fは単射
であることを示せ

なかなか位相について自分で掴むことができず
簡単な証明でも分からなくて困っています

教えていただきたいです。

回答No.3

MagicianKuma

記述ミスがあります。∀c∈,は∀c∈C,です。申し訳なし。

回答No.2

sunflower-san

これは位相云々以前に集合間の写像についての性質です。
まず、「g・f が全射 ⇒ g が全射」は次のとおりです：

いま、(f(A) ⊂ B, g(B) ⊂ C なので)
g(f(A)) ⊂ g(B) ⊂ C ......(※)
である。
さて「g・f が全射」と仮定すると、g(f(A)) = C
なので、(※)から
C ⊂ g(B) ⊂ C
すなわち g(B) = C (証明終わり)

また、「g・f が単射 ⇒ f が単射」も同様に出来ます：

対偶を示す。
f が単射でないとすると、相異なる x, y ∈ A が存在して、f(x) = f(y) となる。すると、この x, y に対して、g(f(x)) = g(f(y)) となるので、g・f も単射でない。(証明終わり)

回答No.1

MagicianKuma

問１のヒント
(1)問題はgの全射を示すこと。すなわち、∀c∈,∃b∈B s.t. g(b)=c　を示すこと。
(2)この場合、一番外側の∀cを固定化することから始めるのがよい。(一種のセオリー)
(3)なのでまず、c∈Cとおく。
(4)g*fが全射なので、∃a∈A s.t. (g*f)(a)=c
(5)合成写像の定義より、(g*f)(a)=g(f(a))
(6)f(a)=bとおくとg(b)=cとなる。
(7)このcはc∈C以外の条件はないので、∀c∈,∃b∈B s.t. g(b)=c　が示せたことになる。
問２のヒント
(1)問題はfの単射を示すこと。すなわち、∀a,∀a'∈A(f(a)=f(a')⇒a=a')を示すこと。
(2)この場合も、∀a,∀a'を固定化する。
(3)なのでまず、f(a)=f(a')とおく。
(4)すると、(g*f)(a)=g(f(a))=g(f(a'))=(g*f)(a')となる
(5)g*fが単射なら、(g*f)(a)=(g*f)(a')⇒a=a' である。
(6)よって、f(a)=f(a')⇒a=a'が示せた。

位相というより、述語論理の証明の定番のやり方です。