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集合位相です。

定理の証明なんですが、 fが単射ならば、f(A1\A2)=f(A1)\f(A2) を示す問題です。 (∈\は、1つの記号と考えてください≠みたいな感じで重ねて・・・見つからなかったのですいません) y∈f(A1\A2) ⇔∃x:(x∈A1\A2)∧(f(x)=y) ⇔∃x:((x∈A1)∧(x∈\A2))∧(f(x)=y) ⇔∃x:((x∈A1)∧f(x)=y)∧((x∈\A2)∧f(x)=y) ⇔(∃x:(x∈A1)∧(f(x)=y))∧(∃x:(x∈\A2)∧f(x)=y))・・・(1) ⇔y∈(f(A1))∧(y∈\f(A2)・・・(2) ⇔y∈f(A1)\f(A2) =右辺。 とやったのですが、(1)から、(2)にいく時に、 アンドの前部分はいいけれども、後ろ部分は証明されて無いだか 何とかで、その証明をするようにと言われました。 なんですが、考えても分からず、参考書を見ても書いていないんです(>_<) 探し方が悪いのかもしれませんが・・・。 集合位相は、あんまり理解できていなくて、 この問題も、他の定理の証明を真似してやっただけなので、 違うよといわれても何が何だか・・・。 更に、これが成り立たない例もあげるようにといわれてしまって・・・ すいませんが教えてください↓↓

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回答No.3

私が前の回答で述べたことを書けばf(A1\A2)⊂f(A1)\f(A2)の証明になります。証明を完成させるには  f(A1\A2)⊃f(A1)\f(A2) も示す必要があります。y∈f(A1)\f(A2)とすると、fは単射だから{y}の原像はただ一つの元からなり、これをxとすると、y∈f(A1)よりx∈A1。また、x∈A2とするとy∈f(A2)となって矛盾するからx∈\A2。よって x∈A1\A2なのでy∈f(A1\A2) となって証明が完成します。

caramel_latte
質問者

お礼

2度もありがとうございます☆ ホント助かりました↓ 成り立たない例も考えてみようと思います。 本当にありがとうございました。

その他の回答 (2)

回答No.2

fが単射をどこで使うかを考えましょう。  ∃x∈\A2、f(x)=y のとき、∃x'∈A2,f(x')=yであるとするとfが単射であることと矛盾。したがって  y∈\f(A2) というのが(1)と(2)の間に入る証明です。一方、fが単射でも  y∈\f(A2) ⇒ ∃x∈\A2、f(x)=y は成立しません。例:f(x)=Arctan x,y=3とすると、A2をどのようにとってもf(x)=yとなるxは存在しません。

noname#108554
noname#108554
回答No.1

この証明ではfの単射性をつかってませんね? >これが成り立たない例もあげるように したがって、fが単射でないものを考えてみましょう。

caramel_latte
質問者

お礼

>この証明ではfの単射性をつかってませんね? そうなんですよ。先生にも言われました。 問題にも単射ならばって書いてあるのに(^-^;) ありがとうございます☆

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