高校数学、空間図形、展開図

質問

図は正八面体の展開図である。
この展開図を組み立てて出来る正八面たいについて、
（１）点Aに重なる点はなにか？

（２）辺DE に重なる辺は何か?
（３）面エと平行になる面は？
（疑問）
私はどことどこがくっつくかというのを頭の中で想像してゆくことが出来ないので、どうすればよいのか考えていたところ、中学入試の時に展開図にくっつく点を書き込む方法をやったことをおもいだしました。
しかし、もうだいぶ前なので、忘れてしまっています。検索をかけたのですが、就職試験のテクニック的な事は載っているサイトは見つかったのですが、数学についてのサイトは見つかりませんでした。
どなたか図に書きこんでゆくというオーソドックスな方法を知っている方がいらっしゃれば、教えてください

回答No.2

tumagie · ベストアンサー

ええと、さっき回答したのが「図に書きこんでゆくというオーソドックスな方法」のつもりだったのですが。

中学受験で経験がおありならこのくらいで伝わるかなと、はしょり気味に説明したので、もう一度、少し丁寧に説明します。

http://gyazo.com/9368f8c2ccfb67b7b6da6c16c1564bc0
の画像を見てください。
まず、左側の図のように、各頂点に名前をつけます。
(もともとの展開図のアの三角形の頂点の名前が A,B,J なので、それはそのまま使用し、
A の真反対、B の真反対、J の真反対にある点は、それぞれ A', B' ,J' と名づけています。)

次に、右側の図を見てください。
正八面体の展開図には、このような「三角形が辺を共有してくっついている箇所」がたくさんありますね(例えばアとイ)。
このとき、Xの点とYの点は、それぞれ元の正八面体において真反対の位置にあります。
(これは、どうしてもわからなければ、実際に正八面体を作ってもらうしかないかもしれません。これさえわかれば、あとは機械的に解けます。)

このことを利用すると、順番に頂点を書き込んでいくことができます。
1.「アとイの三角形がくっついている箇所」に着目すると、 C は A の真反対にある頂点ということがわかる。
元の正八面体で、Aの真反対にある頂点はA'だったから、 Cのところに「A'」と書き込む。
2.「イとウの三角形がくっついている箇所」に着目すると、D は B の真反対にある頂点とわかる。
元の正八面体で、Bの真反対にある頂点はB'だったから、 Dのところに「B'」と書き込む。
3.「ウとエの三角形がくっついている箇所」のに着目 →すると、I は C(=A') の真反対にある頂点とわかる。
元の正八面体で、A'の真反対にある頂点はAだったから、 Iのところに「A」と書き込む。
…
(以下、略)

＞一般的にはどのように解くと教わるのでしょうか?
一般的とは、正八面体以外の場合にも使える、という意味ですか？
少なくとも、立方体ならほとんど同じ方法でできます (展開図の□□のように四角が2つくっついている場所で、左上と右下、左下と右上の頂点は、元の立方体において真反対の位置にある)

お礼

ありがとうございました。とりあえず、本問、類題について試します。

回答No.1

tumagie

多分おっしゃっているのはこの方法のことかと思います。

準備として、正八面体を描き、その6つの頂点に名前をつけます。
A, B, J の点は、展開図と同じように名付けることにして、
A の真反対、B の真反対、J の真反対にある点を、それぞれ A', B' ,J' と名付けることにします。

すると
「アとイ」の三角形に着目 → C は A の真反対にあるから、 C=A'
「イとウ」の三角形に着目 → D は B の真反対にあるから、 D=B'
「ウとエ」の三角形に着目 → I は C=A' の真反対にあるから、 I=A
「エとオ」の三角形に着目 → E は J の真反対にあるから、 E=J'
…
と順次考えていくことで、どの点がどの点とくっつくかを完全に特定できます。

補足

少し大変そうなのですが、シンプルに、展開図を組み立てたらどうなるかを紙に少しずつ書きくわえながら完成させる、慣れてきたら、紙に書くという補助は止め、出来るだけ頭の中でやるという方法はどうでしょうか？紙に少しずつ書いていく方法は複雑な立体でも通用しそうなので。
一般的にはどのように解くと教わるのでしょうか?