高校入試問題（数学・図形）の立体組み立てと体積求める方法について
- 高校入試問題（数学・図形）において、展開図から立体を組み立てて体積を求める問題があります。
- 解答には特に詳しい解説がなく、「ＢＧ＝１０、ＣＨ＝ＨＤ＝５」として体積を求める方法が一般的ですが、与えられた条件からその方法がわかりません。
- 問題集に記載されていない条件や制限があるのか、実際の入試問題には含まれていた条件が漏れてしまっているのか疑問です。
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高校入試問題（数学・図形）
高校入試問題（数学・図形） 教えて頂きたいことがあります。 以下の図のように展開図から立体を組み立てて、その体積を求める 問題が『高校への数学（２００７年７月号か１１月号のどちらか）』 に載っており、その解答には特に詳しい解説なしに、 「ＢＧ＝１０、ＣＨ＝ＨＤ＝５」として体積を求めていたのですが、 確かにそのようにするのがいわゆる フツー なのかもしれませんが、 どうも与えられた条件からそのようにする理由がわかりません。 それとも、実際の入試問題（福岡の高校）にはあった条件が 問題集では漏れてしまったのではと疑うくらいです。 立体として組み立てることが出来るための制限がなにかあるのでしょうか。 『高校への数学』の問題文や図には、ＢＧ＝１０とか、Ｈが辺ＣＤの中点とか 記述はありませんでした。 よろしくお願いします。
- kunkunken
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質問者が選んだベストアンサー
画像にある条件が問題のすべてであるなら、確かに問題の不備ですね。 別にBG=AEだったり、DH=CHだったりしなくても、組みたてて四面体を作ることはできますから。 BGが１０でない場合（８とか１１とかaとか）の場合について、体積を考えてみるのもいい練習に なるかもしれません。 BG=10のときと比べるとかなり難しくなりますが、一応中学校の範囲の知識で何とか解ける 問題になると思います。
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- nattocurry
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あっ、△DEHと△CGHは切り取るんですね。 解釈を間違えていました。 であれば、たしかに条件不足ですね。
お礼
nattocurryさん ご回答ありがとうございました。 これでスッキリしました。
- nattocurry
- ベストアンサー率31% (587/1853)
立体を組み立てて、その体積を求める、というからには、組み立てたものは、閉じられた空間である必要がありますよね？ 隙間があったら、体積を求められませんよね？ であれば、ＢＧ＝１０、ＣＨ＝ＨＤ＝５、といった条件が無くても、組み立てた状態では、ＡとＢとＣとＤはくっつくことになりますよね？ それ以外では、隙間の無い立体を組み立てられません。 であれば、必然的に、ＡＥ＝ＥＤ、ＢＧ＝ＧＣ、ＣＨ＝ＨＤ、になると思います。
お礼
nattocurryさん ご回答いただきありがとうございました。 ご返事が遅れて申し訳ございませんでした。
補足
nattocurryさんへ 確認させていただきたいことがあります。 私の説明不足であれば申し訳ないのですが、ご回答いただいた文面で (1)「・・・組み立てた状態では、ＡとＢとＣとＤはくっつくことになりますよね？」について △DEHと△CGHは切り取るため、CとDはくっつかないことになります。 (2)「・・・必然的に、ＡＥ＝ＥＤ、ＢＧ＝ＧＣ、ＣＨ＝ＨＤ、になると思います。」について (1)と同じで、△DEHと△CGHは切り取るため、くっつく部分はAEとEH、BGとGHであり、CHとHDは そもそも切り取るため、くっつかないことになります。 お手数ですが、上記２点についてご回答いただけると助かります。 よろしくお願いします。
- tomokoich
- ベストアンサー率51% (538/1043)
そうですね。仮にBGの長さをX、ADの長さをYとしてABCDは長方形なのでピタゴラスの定理を駆使して GHの長さを出してみてください。 EH＝１０、ED=Yー１０となるのでDHもHCも（HC=10-DH)出てくるのでさらにGC=Y-XとしてGHもX,Yで表せると思います。 展開図なのでBGとGHは同じ長さにならないといけないのでおのずと１０が最適かと・・ 長方形だからBG=10というのは確かにいい加減でした。
お礼
ありがとうございました もう少し考えてみます。
- tomokoich
- ベストアンサー率51% (538/1043)
ＡＢＣＤが長方形と言っているのでＢＧは１０ですよね 組み立てた時重なるＢＧとＧＨ、ＡＥとＥＨは同じ長さだから１０だしすると三角形ＥＧＨは二等辺三角形だからやはり中点でＣＨ＝ＨＤ＝５となりますよね。 制限というより立体として組み立てるためには重なる辺は同じ長さでないと組み立ちませんからそういうことになるのだと思います。
お礼
tomokoichさん 早速ご返事いただきありがとうございました。
補足
一点確認させてください。 私の説明不足があったなら申し訳ないのですが、tomokoichさん のご返事の「ＡＢＣＤが長方形と言っているのでＢＧは１０ですよね」 の部分なのですが、なぜBGが１０となるのでしょうか。 問題文や図においては、とくにBGについての条件はなかったので （問題集に入試問題からの漏れがなければの話ですが）・・・ お忙しいとは思いますが、よろしくおねがいします。
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お礼
momordicaさん ありがとうございました。 やはり、条件不足ですよね。 やっとスッキリしました。