ベクトルの問題の解き方がわかりません

質問

四面体OABCにおいて、線分OAを2:1に内分する点をP、線分OBを3:1に内分する点をQ、線分BCを4:1に内分する点をRとする。
この四面体を3点P、Q、Rを通る平面で切り、この平面が線分ACと交わる点をSとするとき、線分の長さの比AS:SCを求めよ

途中過程も教えてください!!!

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞ベクトルを↑で表します。
見易くするため↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑cとして、
↑PQ=↑OQ-↑OP=(3/4)↑b-(2/3)↑a
↑QR=↑QB+↑BR=(1/4)↑b+(4/5)↑BC=(1/4)↑b+(4/5)(↑c-↑b)
=-(11/20)↑b+(4/5)↑c
SはPQR平面上の点だから、u,vを定数として
↑PS=u↑PQ+v↑QR=u{(3/4)↑b-(2/3)↑a}+v{-(11/20)↑b+(4/5)↑c}
=-(2u/3)↑a+{(3u/4)-(11v/20)}↑b+(4v/5)↑c・・・・・(1)
線分の長さの比AS:SC=t:1-t(0≦t≦1)とすると
↑PS=↑PA+↑AS=(1/3)↑a+t↑AC=(1/3)↑a+t(↑c-↑a)
={(1/3)-t}↑a+t↑c・・・・・(2)
(1)=(2)から
-(2u/3)↑a+{(3u/4)-(11v/20)}↑b+(4v/5)↑c={(1/3)-t}↑a+t↑c
↑a、↑b、↑cは独立だから両辺のそれぞれの係数は等しいので、
-(2u/3)=(1/3)-t、(3u/4)-(11v/20)=0、4v/5=tが成り立ち、
4v/5=tからv=5t/4、(3u/4)-(11v/20)=0に代入してu=11v/15=11t/12
-(2u/3)=(1/3)-tに代入して-(2/3)(11t/12)=(1/3)-t、tを求めると
t=6/7、よって、AS:SC=(6/7):(1-6/7)=(6/7):(1/7)=6:1・・・答

回答No.2

info222_

OP↑=(2/3)OA↑ …(1)
OQ↑=(3/4)OB↑…(2)
OR↑=(OB↑+4OC↑)/5 …(3)
平面PQR：OP↑+s(OQ↑-OP↑)+t(OR↑-OP↑)
　=(1-s-t)(2/3)OA↑+s(3/4)OB↑+(t/5)OB↑+t(4/5)OC↑
　=(2/3)(1-s-t)OA↑+((3/4)s+(t/5))OB↑+(4/5)tOC↑ …(4)
線分AC：OA+k(OC↑-OA↑)=(1-k)OA↑+kOC↑　（0≦k≦1) …(5)
線分ACと平面PQRとの交点をSに対して次式が成り立つ。
　(2/3)(1-s-t)OA↑+((3/4)s+(t/5))OB↑+(4/5)tOC↑
　=(1-k)OA↑+kOC↑　…(6)
移項して
　(1/3)(1-3k-2s-2t)OA↑-((3/4)s+(t/5))OB↑
　　+(1/5)(5k-4t)OC↑=0↑ …(7)
これが常に成り立つことから
　1-3k-2s-2t=0, (3/4)s+(t/5)=0, 5k-4t=0 …(8)
このs,t,kの連立方程式を解けば
　s=-2/29, t=15/58, k=6/29 …(9)
このkは(5)の0≦k≦1の条件を満たすので
Sは線分ACの内分点であることが判る。

(5)右辺に,(9)のkを代入すれば
OS↑=(1-k)OA↑+kOC↑=(23/29)OA↑+(6/29)OC↑
　　　　=(23OA↑+6OC↑)/29　…(10)
(10)の意味するところは内分点の公式によれば
線分AC上の点Sが線分ACを6:23に内分する点であるということである。したがって
　AS：SC=6:23　…（答）

回答No.1

Kiritsugu_Emiya

図を描いて考えましょう