ベクトルの問題です

質問

ベクトルの問題です。平面上の△０ＡＢが０Ａ＝０Ｂ＝１を満たしてる。このとき、０Ａ↑＝0ａ↑、０Ｂ↑＝0b↑ とし、内積ａ↑・b↑＝kとおいて、 辺０Ａの垂直二等分線の方程式を媒介変数tとａ↑、b↑、kを用いて表すと、1／2ａ↑＋（ア ） となる。また△０ＡＢの外接円の中心をｐとおくとき、位置ベクトル０ｐ↑をａ↑、b↑、kを用いて表すと（イ ）となる。アとイを教えて下さい。宜しくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ＯＡとＯＢのなす角をΘとします。ＢからＯＡに垂線を下ろし、この垂線とＯＡの
交点をＱとすると、ＯＱの長さは｜ＯＢ｜ｃｏｓΘとなります。よって、
↑ＱＢ＝↑ＯＢ－↑ＯＱ
　　　　＝↑ＯＢ－↑ＯＡ・｜ＯＢ｜ｃｏｓΘ／｜ＯＡ｜・・・（１）
ここでｋはｃｏｓΘおよび｜ＯＡ｜、｜ＯＢ｜を用いて
ｋ＝｜ＯＡ｜・｜ＯＢ｜・ｃｏｓΘ
　辺ＯＡ、ＯＢの長さはいずれも１なので
なので、ｃｏｓΘ＝ｋとなり、（１）は
↑ＱＢ＝↑ＯＢ－ｋ・↑ＯＡ
となります。↑ＱＢは↑ＯＡに垂直なので、辺ＯＡの垂直二等分線は
↑ＯＡ／２＋ｔ↑ＱＢ＝↑ＯＡ／２＋ｔ（↑ＯＢ－ｋ・↑ＯＡ）
と表すことができます。

点Ｐは辺ＯＡの垂直二等分線上にあるので、上記の結果を用いて
↑ＯＰ＝↑ＯＡ／２＋ｔ（↑ＯＢ－ｋ・↑ＯＡ）　・・・（２）
と表すことができます。また、点Ｐは辺ＯＢの垂直二等分線上にも
あるので、新たな媒介変数ｕを用いて
↑ＯＰ＝↑ＯＢ／２＋ｕ（↑ＯＡ－ｋ・↑ＯＢ）　・・・（３）
と表すことができます。（２）と（３）は等しいので係数を比較して
ｔ＝１／２＋ｕｋ
ｕ＝１／２＋ｔｋ

ｕ＝１／２＋ｋ（１／２＋ｕｋ）
ｕ（１－ｋ＾２）＝（１＋ｋ）／２
ｕ＝（１＋ｋ）／２（１－ｋ＾２）
　＝１／２（１－ｋ）
これはｋ＝１ではない場合で、ｋ＝１の場合、ｃｏｓΘ＝１、つまり
Θ＝０となりＡとＢが一致してしまいます。△ＯＡＢと問題文には
あるので、ｋ＝１のケースは想定していないでしょう。

お礼

早々のご回答ありがとうございました。