電気回路、複素数での表し方について

質問

電気回路、複素数での表し方について

15ｓｉｇωt＋216cosωtを複素記号で表したいです。
解き方としては、加法定理でsigのみの式に変換して、Ａsig（ωｔ+θ）の形にできれば、極座標形式に直して複素数に変換できるのですが、Ａsig（ωｔ+θ）の形にできません。
ご教授方よろしくお願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

15sin(ωt)＋216cos(ωt)
=√(15^2+216^2){sin(ωt)*15/√(15^2+216^2)
+cos(ωt)*216/√(15^2+216^2)}
=3√5209*{sin(ωt)*5/√5209+cos(ωt)*72/√5209}
=3√5209*{sin(ωt)cosθ+cos(ωt)sinθ}, θ=tan^-1(72/5)
=3√5209*sin(ωt+θ), θ=tan^-1(72/5)

回答No.3

alice_44

まず、大前提として、
正弦波 A sin(ωt+δ) を複素数 A e^(iδ) に関連付ける
というのは、電気回路計算に特有の考え方で、数学とは
あまり関係がありません。

＞ 15 sin ωt + 216 cos ωt を複素記号で表したいです。

だけで意図が伝わると思うのは、手抜き過ぎます。
(実際、なぜか伝わってはしまうのですがね。)

さて、上記のようにエスパー能力を発揮した上で、
数学のほうの回答をしておくと…

15 sin ωt + 216 cos ωt を A sin(ωt+δ) の形に変形すれば、
式から A と δ を読み取って、A e^(iδ) が書ける訳です。

それには、A sin(ωt+δ) を加法定理で展開して、
A sin(ωt+δ) = A { (sin ωt)(cos δ) + (cos ωt)(sin δ) }
= (A cos δ)(sin ωt) + (A sin δ)(cos ωt)
の右辺と 15 sin ωt + 216 cos ωt が一致するように、
A cos δ = 15,
A sin δ = 216 となるような A, δ をとればよい。

sin, cos の基本公式 (cos δ)^2 + (sin δ)^2 = 1 より
A^2 = 15^2 + 216^2 が得られるので、これで A の値が判ります。
A が判れば、cos δ = 15/A, sin δ = 216/A ですね。
ここから δ の値を求めるためには、何らかの逆三角関数を使って
δ = tan^-1(216/15) とか
δ = sin^-1(216/A) とか
δ = cos^-1(15/A) とか計算する必要がありますね。
近似値しか求めようがないし、実用的には、関数電卓任せになるでしょう。
上記どの式を使っても、sin δ, cos δ それぞれの符号(ここでは両方正)
と三角関数の周期性を使って、電卓後に値の範囲を調整することになります。

…というようなゴタゴタを全て取っ払うやり方としては、
複素数を表すのに、極形式ではなく、直交形式を使えばいい。
A e^(iδ) = A { (cos δ) + i(sin δ) }
= (A cos δ) + i(A sin δ) ですから、
何も計算しなくても、A e^(iδ) = 15 + 216 i です。　　←答え
複素数で表した後に行う計算の内容にもよりますが、
極形式よりも直交形式のほうが便利な場面が多いでしょう。

＃ sin を sig と書いてしまう数学力だと、
＃ 三角関数の加法定理といっても
＃ 馴染みが薄いかも知れませんね。
＃ 一応参考を挙げておきますが…
＃ これを知らないというのは、ややヤバイ状態です。
＃ 参考→ http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/kahou.html

回答No.1

spring135

日本ではsinと書きます。

15sin(ωt)＋216cos(ωt)=Asin(ωｔ+θ)=Acosθsinωｔ+Asinθcosωｔ

を想定してA,θを求める。

A=√(15^2+216^2)=216.5202

15/A=0.0693=cosθを満たすθは

θ=arccos(0.0693)=1.501(radian)

これは

arcsin(216/A)=arcsin(0.998)=1.501

で求められる値と当然一致する。

答え

15sin(ωt)＋216cos(ωt)=216.5202sin(ωｔ+1.501)

補足

大変申し訳ございません。途中式がなく理解しかねます。
おてすうですが、よろしくおねがいします