電気の交流回路における複素数と実数の関係は？
- 電気の交流回路において、正弦波電源にキャパシタを接続する場合のインピーダンスを考えると、「1/jωC」という複素数で表されます。
- 一方、複素数を用いない表現では、電流が「i=ωC V cosωt」となり、インピーダンスは「Z=1/C tanωt」となります。
- 質問ですが、(3)の「1/j=tanωt」は数学的に正しいか、物理的に正しいかという点についての解釈をお聞きしたいです。
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電気の交流回路 1/j=tanωt ？
電気の交流回路に関する質問です。 正弦波電源vにキャパシタCを接続するときのインピーダンスZを考えます。 v=V sinωt とします。 複素数で表現すると Z=1/jωC (1) になるのは周知の通りです。 次に、複素数を用いない表現を考えます。 電流iは i=C dv/dt なので i=ωC V cosωt になります。 ゆえに Z=v/i=1/C tanωt (2) になります。 (1)=(2) と考えると 1/j=tanωt (3) になります。 ここで質問なのですが、 (3)は (1)数学的に正しいのでしょうか (2)電気理論（物理）的に正しいのでしょうか。どのような解釈ができるのでしょうか (3)は、左辺が複素数、右辺が実数なので数学的に間違っているよに思われます。複素数を用いるのは電気現象を表現するのが容易になると本で読んだことがあります。単なる数式の取り扱い、つまり、(1)=(2) とするのが間違いのような気もします。よく理解できないので質問させて頂きました。 回答を宜しくお願い致します。
- kazucb400
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質問者が選んだベストアンサー
交流電圧を表すのに， 時間tの関数である瞬時値v(t)=V sin(ωt+θ) と 複素数であるフェーザ dot{V}=V*(cosθ+jsinθ) の二つの表し方があります。 フェーザdot{V}が与えられると， v(t)=Im[dot{V}*exp(jωt)] で瞬時値を作り出すことができます。 (Imは虚数部を取り出す演算子，Im[a+jb]=b) インピーダンスは，フェーザの比として定義される複素数です。 正弦波は，時間で微分しても積分しても，振幅と位相は変わるものの正弦波のままです。 これを利用して 時間微積分の計算を複素数の代数計算に置き換える， というテクニックが交流回路理論の基本です。 質問者さんの(2)式 Z=v/i=1/C tanωt は使いません。 コンデンサの性質は， i=Cdv/dt，あるいはv=(1/C)∫idt で表される時間の微積分であり, 瞬時値の比{v/i=1/C tanωt}そのものに意味がないからです。 瞬時値に対してインピーダンスに相当するものは, 「電流にi(t)に作用して電圧v(t)を得る演算子」 です。 Rに対して，R Cに対して，(1/C)∫dt=1/(Cp) Lに対して，Ld/dt=pL になります。pは時間微分の演算子p=d/dtです。
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- info22_
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>Z=v/i=1/C tanωt (2) >になります。 これは間違いです。 フェイザー空間（複素空間、jω空間）のインピーダンスZと時間領域tのv(t),i(t)を同じ式で扱うことは間違いです。 jωで扱う場合はv(t)は Ve^(j0)=V とします。この場合はi(t)は I=jωCV＝ωCVe^(jπ/2) で扱います。 Z=V/I=1/(jωC)=(1/(ωC))e^(-jπ/2) となります。 >(1)=(2) と考えると とはおけません。 なので以下は成り立ちません。 >1/j=tanωt (3) >になります。 >ここで質問なのですが、 >(3)は (3)は複素空間と時間空間の量をちゃんぽんにして導いた、全く ダメな有り得ない式です。ナンセンスな式です。 >(1)数学的に正しいのでしょうか 当然間違い。(3)式に対する質問自体無意味です。 >(2)電気理論（物理）的に正しいのでしょうか。どのような解釈ができるのでしょうか 当然間違い。(3)式に対する質問自体無意味です。 >(3)は、左辺が複素数、右辺が実数なので数学的に間違っているよに思われます。 数学的にも、電気回路理論としても、間違い！ >複素数を用いるのは電気現象を表現するのが容易になると本で読んだことがあります。 電気回路理論の交流理論ではjωを使った複素数（フェザー）で扱います。 >単なる数式の取り扱い、つまり、(1)=(2) とするのが間違いのような気もします。 (1)=(2)とすることがそもそもの間違いのもとです。 片方が時間領域、片方がjωを使った複素領域の式で等号で結ぶことはできません。
お礼
早々の回答有難う御座います。 時間領域と複素領域は数式上、別々に扱わないといけないということが分かりました。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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(1)、(2) 正しくありません。 Z はフェーザ表示のインピーダンスで、v, i は時刻 t の関数で 瞬時値を表しています。ごっちゃにはできません。 sinωtの位相を基準にフェーザ表示に統一すると 電圧は VF = V dv/dt = Vωcosωt のフェーザ表示は jωV(i は 90度の位相進みを表す、つまり sin⇒cos) 電流のフェーザ表示は IF = (dv/dtのフェーザ表示)・C = iωCV なので Z = VF/IF = 1/(jωC)
お礼
早々の回答有難う御座いました。 電気回路理論の本を改めて確認しました。 jωを含む式は、大文字のI,V（またはE）,Zを使っており、時間tの関数は、i小文字のi,v（またはe)を使っわれていました。本には、フェーザ表示なのかどうかは明確に説明されていませんが、大文字がフェーザ表示であることを前提に書かれているということを認識することができました。また、Zについては、確かに関数tの式は見当たらず、jωを使ったフェーザ表示の式のみで表現されていました。本によっては、太文字のE,V,Zがフェーザ表示を示しているのものありました。 よく理解できました。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
電気工学上がりの、元代数学非常勤講師です。 実家電器屋ね。 う～んと、（２）式が違う気がします。 i=C dv/dt こうかねぇ？ i=Z dv/dt じゃない？ これはまぁいいとして、おいておいても （１）＝（２）から （３）と出てくる理由がよく見えないよ。 これは電気で出された方がいいと思いますよ。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
お礼
有難う御座います。 電気に対する数学的取り扱い方法において、私は、基本的な理解ができていなかったように思いました。
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