高校物理 交流のＲＬＣ直列回路

質問

高校物理、電磁気の範囲で分からない問題があったので質問させていただきます。

抵抗Ｒ，自己インダクタンスＬ，静電容量Ｃの直列回路に、振幅Ｖ₀、角周波数ωの正弦波交流電源を接続しました。
いろんな小問を通して電流i＝(Ｖ₀/Z)・sin(ωt-Φ)、Ｖ＝Ｖ₀sin(ωt-Φ)　　（ただしＺ＝√Ｒ²＋(Lωー1/Cω)²）　　共振周波数ω₀＝１/√(LC)
などということが分かりました。
このとき、『ω＝ω₀であるときの平均電力をＰ₀として、Ｐ＝Ｐ₀/2 となるωの値ω₁、ω₂を求めよ』というもんだいの解き方が分かりません。ゴリ押しでやってみたらωの４乗などが出てきてしまい、答えがルートの中にルート…のような形になってしまいました。
正しい出し方、計算法をご教授ください。

回答No.2

teppou

R L C のうち、電力を消費するのは R だけで、L と C は、電力とかかわりありません。
　ω0 の時には、Lωー1/Cω = 0 となるため、Z = R となり、Z は最少となるため、P は最大になります。
　ω0 のときの P は、P0 = I^2 * R となりますので、P = P0/2 となるときの I は、I0/√2 となりますので、Z = √2 * Z0 となります。
　ここから、√2*Z0 をいかにして求めるかということですが、むろんそのまま計算すると言うのも一方ですが、違う方法もあります。
　R と Lωー1/Cω は、位相が π/2 違いますので、（だから和は二乗和のルートになる、ピタゴラスの定理です）
　√2*Z0 は、R = Lωー1/Cω となります。
　この考え方で、計算してみてください。ω1、ω2 の二つが出てくるはずです。

回答No.1

178-tall

>『ω＝ωoであるときの平均電力をＰoとして、Ｐ＝Ｐo/2 となるωの値ωo、ωoを求めよ』

Z = √[ R^2 + {ωL - 1/(ωC) }^2 ] を鵜呑みにして勘定。

ω= ωo では Zo = R だから、P = Po/2 となるωでは Z = Zo*√2 なのだろう。
つまり、
　R^2 + {ωL - 1/(ωC) }^2 = 2*R^2

以下、因数分解の手口。

　R^2 - {ωL - 1/(ωC) }^2 = 0
　{ R + ωL + 1/(ωC) }{ R - ωL - 1/(ωC) } = 0
として、左辺の各 2 次方程式を解く。