CRの並列回路とLが直列に繋がっている回路

質問

CRの並列回路とLが直列に繋がっている回路で、インダクタンスLを一定とし、Rを変化させて、電流の最大値と最小値の比を2とするためにはLとCにいかなる関係があるかという問題なのですが、解き方が分かりません。

式としては、
Z=jωL+1/{(1/R)+jωc}となると思います。
よろしくお願いします。

回答No.6

ruto

>この問題はベクトル軌跡を用いないと解けない問題なのでしょうか？
>その場合は、簡単にでいいので書き方を教えていただけると幸いです。
ベクトル軌跡を使わないで解く場合は
Ｚ＝jXL＋（RXC^2－jRXC^2)/（R^2＋XC^2）
の|Ｚ|が最大最小のＲを求める必要があります。
何となくは分かりますが、ベクトル軌跡では
R//XCのベクトル軌跡は虚軸（縦軸）にj/XCをとり実軸に0～∞に線を引きこれを加えると縦軸上に1/XC、そこから横軸に平行に線を引きます。これでＲとXCの合成のアドミッタンスのベクトル図が描けます。つぎにこのアドミッタンスのベクトル図の逆図形を描きます。（直線の逆図形は円になる、この場合は半円です）
これは原点からの距離（1/XC）の逆数、XCを直径とする半円になります。原点を通り、中心の座標が(0,-XC/2）で右半分の半円になります。R=0の時円の下端、R＝∞の時円の上端。（Ｒを０から無限大に変化させると下端から円周上を反時計方向に移動します）
　この半円にjXLだけ中心を縦軸方向に移動させます。
　それが、合成インピーダンスＺのベクトル軌跡になります。（Ｒを可変したときの）
　これよりＺの最大最小は原点から考えて、XC/2＞XLのとき
　Ｒ＝0の時Zが最大で、Ｒ＝∞の時Zが最小になる。ただし最大最小の電流の位相は180°異なる。
　XC/2<XL<XCのときはR＝0でZが最大、R＝∞でZが最小になる。このときも電流は位相が180°ことなる。
　XL>XCのとき
　Ｒ＝0でＺが最小でR＝∞でＺが最大になる。
　このときは電流の位相は同相です。
当然Ｚ最大で電流は最小、Ｚ最小で電流は最大になる。
　ベクトル軌跡、ベクトルの逆図形は余り聞き慣れませんが、大変おもしろいので頑張ってください。
　交流回路等の参考書に載ってます。

　次にこの半円を+jXL移動させた図形が合成インピーダンスＺのべくとる軌跡になります。ここで半円の始まりと

お礼

回答いただきありがとうございます。
詳細な説明ありがとうございました。
わざわざ画像まで用意していただいて感謝感激です。

この画像と説明を元にベクトル軌跡の勉強をしてみようと思います。
この度は長々とありがとうございました。

回答No.5

ruto

>ようやく答えだけ（途中式なしです）分かったのですが、
答えはωL=2/ωCということでした。
Ｚのベクトル軌跡からこの場合R=∞の時Ｚminになり、Ｒ＝0でZmaxになります。
　ただ最大最小の電流の比が大きさが2ではなく、ベクトル的にも+2の場合はXL/（XL－XC）＝2　となりXL＝2XCとなりますね。
　大きさの比がが単に2なら（ベクトル的には±2）なら答えはほかに2つ存在します。
　(1)XL/（XL－XC）＝-2　　∴XL＝2/3・XC
　(2)（XL－XC）/XL＝-2　　∴XL＝1/3・XC
の様になります。
　私は単純に大きさで考えてました。引っかかってしまいました。

お礼

回答ありがとうございます。

ただ、自分はベクトル軌跡というものを今いち理解していないのですが、
この問題はベクトル軌跡を用いないと解けない問題なのでしょうか？
その場合は、簡単にでいいので書き方を教えていただけると幸いです。

回答No.4

sinisorsa

インピーダンスZの式から、明らかに、Zは抵抗Rの増加に伴い単調に
増加することが分かります。
また、電流はインピーダンスに反比例しますから、Rが小さいとき
すなわち、R=0のとき、電流が最大。電源電圧をEとすると、
Imax＝E／（ωL）、また、R=∞のとき、すなわち、抵抗がないとき、
電流が最小。　Imin＝E／（ωL＋1/(ωＣ))
電流の比を２対１にするには、ωL＋1/(ωＣ)＝２ωL
ゆえに　ωL＝1/(ωＣ)　または、ＬＣ＝１／（ω・ω）
問題は難しそうに見えても、現象を把握すれば、
難しくありません。
問題の把握が肝心です。ご健闘を祈ります。

お礼

回答いただきありがとうございます。

下の方にも書きましたが
答えはωL=2/ωCということでした。

自分はたった一問の問題にここまで頭を悩ませるのは始めてです。。。

回答No.3

ruto

No2ですが、XL＝XC/2の時には最大最小の比が1:1ですが
XL＝XC/3の時は2:1になります。またXL＝XC・2/3の時も2:1になります。これはＺのベクトル軌跡を描くと
　中心が（0、XL-XC）で直径がXCの右半分の半円になります。これで2:1になることが理解できると思います。（R=0とR＝∞で考える）

回答No.2

ruto

>Z=jωL+1/{(1/R)+jωc}となると思います.
それから|Z|を求め
d|Z|/ｄR＝0でωＬと1/ωCの関係を求めると
ωL＝1/2ωC　の関係が出てきます。
しかし、この場合Ｒの如何に関わらず電流の大きさは一定です。
電流比が２ではなく１ではないのでしょうか。

お礼

回答いただきありがとうございます。

ようやく答えだけ（途中式なしです）分かったのですが、
答えはωL=2/ωCということでした。
もう自分はちんぷんかんぷんになってしまいたした・・・
問題も確認した所、やはり電流比は2となっていました。

回答No.1

kichikara

質問文から読み取れる限り、立式はお書きになられた通りの

Z = jωL + 1/{(1/R) + jωc}

で良いと思います。

　で、電流が最大の時の抵抗値をＲ１、最小の時の抵抗値をＲ２とすると、電流が最大のときは

Z = jωL + 1/{(1/R1) + jωc}

　電流最小値は最大値の1/2だからインピーダンスは単純に２倍なので

2*Z = jωL + 1/{(1/R2) + jωc}

　さて、Ｒ1＝０とすれば、Ｃの両端を短絡すると云う事なのでＬのみの回路になります。
　で、Ｒ2＝∞とすれば、ＲＣの並列回路のうちＲ側に電流は流れない＝Ｒのみ回路から取り外したＬＣの直列回路、と云う事になります。

Z = jωL

2*Z = jωL + 1/jωc

　ここから先はもう難しくないですよね。

お礼

お答えいただきありがとうございました。
考え方は分かりました。

ただ、電流が最大の時と最小の時の考え方がいまいち分かりません。
自分はLC直列の場合は共振周波数の場合、インピーダンスが0になって電流が無限になると習ったのですが、今回の場合共振周波数とはかかれてないですけど、
Lのみの回路よりインピーダンスが大きいことになるでしょうか？

出来れば、最大と最小の場合のインピーダンスの求め方を教えていただくとうれしいです。