RとCおよびRとLの並列回路におけるインピーダンス

質問

(1)　　　　　　　　　　(2)
　　―Ｒ―　　　　　　　　―Ｒ―
　｜　　　｜　　　　　　｜　　　｜
―｜　　　｜―　　　　―｜　　　｜―
　　―Ｃ―　　　　　　　　―Ｌ―

(1)(2)のインピーダンスを自分なりに求めてみたのですが、ややこしくなってきて合ってるのか間違ってるのかさえ分からなくなったので下の求め方が合ってるか、またはどこが間違っててどう直せばいいか教えて下さると助かるのですが・・・

(1)
1/Z＝1/R＋1/(－j*1/ωc)
＝1/R＋jωc
＝(1＋jωcR)/R

Z＝R/(1＋jωcR)
＝R(1－jωcR)/(1＋jωcR)(1－jωcR)
＝(R－jωc*R^2)/(1＋ω^2*c^2*R^2)
＝R/(1＋ω^2*c^2*R^2)－j(ωc*R^2)/(1＋ω^2*c^2*R^2)

|Z|＝√(R^2＋ω^2*c^2*R^4)/{1＋2(ω^2*c^2*R^2)＋(ω^4*c^4*R^4)}

tanΦ＝ωcR^2/R

(2)
1/Z＝1/R＋1/jωL
＝(R＋jωL)/jωLR

Z＝jωLR/(R＋jωL)
＝jωLR(R－jωL)/(R＋jωL)(R－jωL)
＝(ω^2*L^2*R)＋jωL*R^2/(R^2＋ω^2*L^2)
＝(ω^2*L^2*R)/(R^2＋ω^2*L^2)＋j(ωL*R^2)/(R^2＋ω^2*L^2)

|Z|＝√(ω^4*L^4*R^2)＋(ω^2*L^2*R^4)/{(ω^4*L^4)＋2(ω^2*L^2*R^2)＋R^4}

tanΦ＝(ωL*R^2)/(ω^2*L^2*R)

回答No.3

Teleskope · ベストアンサー

拝見しました。筋道はしっかり合っていますね。　この種のインピーダンス計算は、もう、いかに複雑さに負けないか、ちょっとした間違いを犯さないか、に尽きますね。私の場合は、Xのままやって、最後のギリギリでωやL,Cやiにバラします。途中できるだけ身軽にしてミスを防ぎます。

　　　 ┌─Ｒ─┐
　　─┤　　　　├─
　　　 └─ｊＸ─┘

二つとも同じ接続なので解き方は同じです。

　　1/Z = 1/R + 1/(jX)

より、
　　　　　　RjX　　　　　RX
　　Z = ─── = ───-─ （X+jR）
　　　　　R + jX　　 R^2＋X^2

カッコの前の係数は tanφ= の式の分子にも分母にも付くので約分されてしまい、実質カッコの中だけになるので(*)、

　　　　　　　 R
　　tanφ = ─-
　　　　　　　 X
となります。
Cのときは X=-1/(ωC) ゆえ、tanφ=-ωCR
Ｌのときは X=ωL ゆえ、tanφ=R/(ωL)

Zの絶対値は、最初の式から別コースをたどります。

　　　　　　RjX　　　　　R
　　Z = ─── = ────
　　　　　R + jX　　 R/jX +1

jXで割りました。
分子は実数になりました。分母の方は複素数で、その大きさ（絶対値）は、実数部の大きさの2乗＋虚数部の大きさの2乗 ゆえ、

　　√［ 1＋(R/X)^2 ］

中の(…)の中は tan の式とおんなじですね！(*)
ゆえに
　　　　　　　　　　　　　　R
Ｃのとき　　|Z| = ───────
　　　　　　　　　　√[1+(RωC)^2]

　　　　　　　　　　　　　　R
Ｌのとき　　|Z| = ───────
　　　　　　　　　　√[1+(R/ωL)^2]

(*)このふたつが肝です。暗記のキーになってます。ｗ

お礼

Xを使った方がわかりやすいですね。説明も分かりやすかったです。お忙しい中ありがとうございました。

回答No.2

ruto

R、C,Lの並列回路の計算はリアクタンスをXC、XLとして計算したほうがやりやすいです。
Zc＝｛（1/R＋ｊ1/XC）｝^-1
　＝R・XC（XC－jR）/（XC^2＋R^2)
｜Zc｜＝R・XC/（XC^2＋R^2）^0.5
tanθ＝－R/XC＝－ωRC　
ZL＝{（1/R－ｊ1/XL）｝^-1
　＝R・XL（XL＋jR）/（R^2＋XL^2）
｜ZL｜＝R・XL/（R^2＋XL^2）^0.5
tanθ＝R/XL＝R/（ωL）
となりますね。
質問者のtanθはもっと訳せます。

お礼

このやり方だとやりやすいですね。どうもありがとうございました。

回答No.1

Piazzolla

大体あってるんですが、約分を忘れています。

|Z|を求めるところで、分母は、共通で２乗してルートを取りますから、計算せずに、残したままのほうがいいと思います。
分子は、R＾2でくくれて、ルートの外に出せます。残った部分が、分母で約分で来ます。

こんな形　√ｘ/ｘ＝1/√ｘ　
ｘ＝１＋(ωCR)^2

最終的に、
|Z|＝R/√１＋(ωCR)^2

tanΦ＝ωcR^2/R
これもRで約分して、tanΦ＝ωCR

（２）も同様です。

お礼

なるほど。約分をすれば見やすくなりました。端的な指摘ありがとうございました。分かりやすいです。