RLC回路

質問

【質問】なぜ、1/(2・Π・f1・Ｃ）-2・Π・ｆ1・Ｌ=Rに成るのですか？
【問題】ＲＬＣの直列回路において共振周波数をfr,共振時に流れる電流をＩrとし、この回路に流れる電流の大きさが共振時1/√2になるときの周波数をf1及びｆ2としたときにfr^2=f1・f2が成立することを証明せよ。
ただしf1＜fr<f2とする。
【解答】
Ir=V/R ，fr^2=(1/（2・Π・√（LC)））＾2＝1/（4・Π＾2・Ｌ・Ｃ）
またf1における電流Ｉ1は
Ｉ1＝Ｖ／√[Ｒ＾2+{2・Π・ｆ1・Ｌ－1／（２・Π・ｆ1・Ｃ}＾2]＝Ｖ／√（2）・Ｒ
∴{(２・Π・ｆ1・Ｌ）-1/(２・Π・ｆ1・Ｃ）}＾2＝Ｒ＾2
【ここからがわかりません】
1/(2・Π・f1・Ｃ）-2・Π・ｆ1・Ｌ=R
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
2・Π・ｆ1・Ｌ-1/(2・Π・f1・Ｃ）＝Ｒだと思うのですが。

回答No.3

Rossana · ベストアンサー

ANo.2で使用した式を使います．
2πf1L-1/(2πf1C)=2πf1L(1-fr^2/f1^2)=-R
2πf2L-1/(2πf2C)=2πf2L(1-fr^2/f2^2)=R
これより
2πf1L(1-fr^2/f1^2)=-2πf2L(1-fr^2/f2^2)
f1-fr^2/f1=-f2+fr^2/f2
f1+f2=fr^2(1/f1+1/f2)
f1+f2=fr^2(f1+f2)/(f1f2)
両辺を(f1+f2)で割って
1=fr^2/(f1f2)
∴　f1f2＝fr^2
とやると解の公式のややこしい式を介さず，見通しがいいので計算ミスも少なくできると思います．

●ここからが補足回答
ちなみに，
>そしてｆ１の計算の仕方はわかりましたが、解の公式
>を使ってとくと、f1は２種類、ｆ２も２種類できま
>す。どっちを選んだらよいのでしょうか？
で同様だと思うので，f1だけ補足回答します．
1/(2πf1C)-2πf1L=R
両辺に2πf1Cを掛けて
1-4π^2f1^2LC=2πf1RC
4π^2f1^2LC＋2πf1RC－1＝0
解の公式より(面倒なので，ご存知かと思いますが，ax^2＋bx＋c＝0用ではなくax^2＋2b'x＋c＝0用の公式を使いました．)
f1＝[-πRC±√{(πRC)^2＋4π^2f1^2LC}]/(4π^2f1^2LC)

☆ポイント：ここで，ルートの中身のb'^2-acの部分
√{(πRC)^2＋4π^2f1^2LC}について考える．
√{(πRC)^2＋4π^2f1^2LC}＞√{(πRC)^2}＝πRC
ですから，
[-πRC＋√{(πRC)^2＋4π^2f1^2LC}＞0
[-πRC－√{(πRC)^2＋4π^2f1^2LC}＜0
となるので，f1＞0となる
f1＝[-πRC＋√{(πRC)^2＋4π^2f1^2LC}]/(4π^2f1^2LC)
＋√(b'^2-ac)の方を採用します．

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.2

Rossana

2πf1L-1/(2πf1C)=2πf1L-2πL/(4π^2LC)/f1
=2πf1L{1-1/(4π^2LC)/f1^2}
=2πf1L(1-fr^2/f1^2)＜0
(∵ f1＜fr ⇔ f1^2＜fr^2 ⇔ 1＜fr^2/f1^2)

したがって
2πf1L-1/(2πf1C)=±Rのうち，－の方が選ばれ
2πf1L-1/(2πf1C)=－R.
この両辺に－1を乗じて
1/(2πf1C)-2πf1L=R.

f2の方も同様にして計算できます．

補足

そしてｆ１の計算の仕方はわかりましたが、解の公式を使ってとくと、f1は２種類、ｆ２も２種類できます。どっちを選んだらよいのでしょうか？

回答No.1

c80s3xxx

{(２・Π・ｆ1・Ｌ）-1/(２・Π・ｆ1・Ｃ）}＾2＝Ｒ＾2

∴2・Π・ｆ1・Ｌ-1/(2・Π・f1・Ｃ）＝±Ｒ

どちらの符号が意味のある解かはＲ＞０から判定する．

お礼

ありがとうございました。