- 締切済み
複素数 極形式 ド・モアブルの定理
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
次期指導要領では高校数学に複素数平面が復活します。複素数平面の応用として，三角関数の加法定理や合成，曲線の回転が考えられます。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(2)は、当にドモアブルを使うべき場面ですね。 極形式にすると、偏角がπの有理数倍になって、 2011 乗が簡単に処理できる。 (1) は、5 乗の -1 乗と考えて、 5 乗を地道な展開か二項定理かで計算した後、 逆数の分母を有理数化すればよいです。 偏角がキレイな値にならないと、 ドモアブルは使いようがないでしょう。
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
(1) 自然数乗の場合と全く同じ。 1+(√5)i=r(cosX+isinX)と変形すると {1+(√5)i}^(-5)={r(cosX+isinX)}^(-5)={r^(-5)}{(cosX+isinX)^(-5)}={1/r^5}{cos(-5X)+isin(-5X)} となります。 ド・モアブルの定理は指数がどんな数字でも(複素数でも)成り立つ。 (2) 分数の中をあらかじめ有理化しておくと良いでしょう。
関連するQ&A
- ド・モアブルの定理とｎ乗根
ド・モアブルの定理で、ｎが負のとき (cosθ+i sinθ)(-1乗) = 1/(cosθ+i sinθ) = cosθ-i sinθ = cos(-θ)+i sin(-θ) 最後の等号がなぜ成立するかわかりません！ あと複素数平面におけるｎ乗根で z=r (cosθ+i sinθ) r >= 0 ---------------(1) 0 <= θ < 2π ---------(2) ｒ(n乗)(cos nθ+ i sin nθ)=1 r(n乗)cos nθ=1 --------(3) r(n乗)sin nθ=0 ---------(4) r(2n乗) = 1 よって(1)から r = 1 最後のところがわかりません…。分かる人いましたらお願いしますm(__)m
- 締切済み
- 数学・算数
- ド・モアブル＝ラプラスの定理の証明について
下記のサイトを発見したのですが、 http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/graduate/central/i... 定理１でσnCxp^xq^(n-x)→e^(-u^2/2)を示すことにより ド・モアブル＝ラプラスの定理を証明してるのですが、 σnCxp^xq^(n-x)のσがなぜついているのかわかりません。 σがついているものを証明することで、 ド・モアブル＝ラプラスの定理の証明に本当になるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ド・モアブルの定理を用いて直交形式で表す問題です
複素数で表される、{-1 / 2 + (√3 / 2) * i }^n をド・モアブルの定理を用いて計算し、直交形式 z = x + iy で表せ。 ただし、i = √-1 で、 nは整数、x , y は実数とする。 という問題で、 極形式表示の cos(2π/3) + i sin(2π/3) に変換するところまでは分かったのですが、 n乗への変換方法と直交形式に変換する方法が分かりません。 きちんと理解して解けるようにしたいので、計算方法と解答を具体的に教えてもらえないでしょうか。 分かりやすいように、問題の式を画像でアップしておきます。 どうぞ、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- オイラーの定理の証明方法
新大学一年生です。 次のようなオイラーの定理の証明方法は正しいでしょうか？？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ e^ix=cosx+isinx を示す。 A(x)=cosx+isinx とおく。A'(x)=-sinx+icosx ∴A'(x)/A(x)=(-sinx+icosx)/(cosx+isinx )=｛(-sinx+icosx)(cosx-isinx)｝/｛(cosx+isinx )(cosx-isinx )｝=i ∴A'(x)/A(x)=i の両辺をxで一回積分して log|A(x)|=ix+C (C：積分定数) ∴A(x)=e^(ix+C) ここでA(0)=cos0+isin0=1より、C=0 ∴A(x)=e^ix ∴e^ix=cosx+isinx ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 私にもわかりやすいのですが、ネットや本にはあまり載っていなく、別のテーラー展開を使ったものの方が多いです。 この方法は正しいのでしょうか？個人的には複素数で微分積分していいのかな？と疑問に思います。 新大学一年にもわかるように教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 電気回路、複素数での表し方
電気回路、複素数での表し方 50cos（ωt－45°）を複素記号で表したいです。 解き方としては、加法定理でsigのみの式に変換して、Ａsig（ωｔ+θ）の形にできれば、極座標形式に直して複素数に変換できるのですが、Ａsig（ωｔ+θ）の形にできません。 ご教授方よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 電気回路、複素数での表し方について
電気回路、複素数での表し方について 15ｓｉｇωt＋216cosωtを複素記号で表したいです。 解き方としては、加法定理でsigのみの式に変換して、Ａsig（ωｔ+θ）の形にできれば、極座標形式に直して複素数に変換できるのですが、Ａsig（ωｔ+θ）の形にできません。 ご教授方よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の新過程について
皆さんが回答されているように、複素数平面が新過程では消えたということなんですが、極形式やド・モアブルの定理がなくなってしまったんですよね？ということは、複素数の範囲での因数分解ができればよい、ということになるんですか？随分と思い切った削除なので、不安になり皆さんにもう一度確認したくて。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この複素の問題の解き方を教えていただきたいです
次の問題の解き方と解答を教えてください。 下の複素数を極形式にし、ドモアブルの定理を使ってa+biの形にする問題です。 問. (1-√3i/1+√3i)^2014 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
