複素数

質問

次の複素数を求めよ
{(√6+√2)/4+(√6-√2)i/4}^20

cos15°とド・モアブルの定理を使うと思うのですがわかりません。
詳しい解説お願いします。

ちなみに、参考書の答えは、(1-√3i)/2です。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

a=(√6+√2)/4, b=(√6-√2)/4

とおくと

C={(√6+√2)/4+(√6-√2)i/4}^20＝(a+bi)^20

r=√(a^2+b^2)=1

cosφ=a/r=a=(√6+√2)/4, sinφ=b/r=b=(√6-√2)/4とおくと

z=a+bi=rcosφ+1rsinφ=e^iφ

C=z^20=e^i20φ

cosφ=(√6+√2)/4、sinφ=(√6-√2)/4より

cos2φ＝2cos^2φ-1=√3/2, sin2φ=2cosφsinφ=1/2

これより

2φ=π/6, φ=π/12

C=e^i20φ=e^i(20π/12)=e^i(5π/3)=cos(5π/3)+isin(5π/3)=1/2-i√3/2

お礼

詳しい解説ありがとうございます。