• ベストアンサー

複素数の問題

次の問題が分からなくて困っています。 a>0とし、z=a+i/√2(ただし、iは虚数単位)とする。また、z+1/zは実数である。 (1)aの値を求めよ。 (2)z^30+1/z^30を求めよ。 答えは(1)は1/√2で、(2)は0です。 数学IIBまでしか習っていない文系なのですが、(2)の解説でド・モアブルの定理というもので解説されてしまっていて理解出来ませんでした。この定理を使わない方法でお願いします。 (1)、(2)どちらも全然理解出来無かったので分かりやすい解説よろしくお願いします(>_<)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6286)
回答No.1

z = a + i/√2 1/z = 1/(a + i/√2) = (a - i/√2)/{(a + i/√2)(a - i/√2)} = (a - i/√2)/(a^2 + 1/2) z + 1/zは実数(虚部 = 0)であるから、 1/√2 - 1/{√2(a^2 + 1/2)} = 0 1 - 1/(a^2 + 1/2) = 0 a^2 + 1/2 - 1 = 0 a^2 = 1/2 a > 0であるから、a = 1/√2 z = (1 + i)/√2 z^2 = (1 + i)^2/2 = (1 + 2i + i^2)/2 = i z^3 = (i - 1)/√2 z^4 = -1 z^7 = (1 - i)/√2 z^8 = 1 z^14 = (1 - i)^2/2 = (1 - 2i + i^2)/2 = -i z^16 = 1 z^30 = -i 1/z^30 = -1/i = i ∴z^30 + 1/z^30 = 0

585893126
質問者

お礼

お礼が遅れてしまいすみません! 解説分かりやすかったです、ありがとうございました!!

その他の回答 (1)

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6286)
回答No.2

z^7 = (1 - i)/√2 z^8 = 1 z^14 = (1 - i)^2/2 = (1 - 2i + i^2)/2 = -i z^16 = 1 z^30 = -i ここは、 z^7 = (1 - i)/√2 z^8 = 1 z^15 = (1 - i)/√2 z^30 = (1 - i)^2/2 = (1 - 2i + i^2)/2 = -i とした方が簡単でした。

585893126
質問者

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました!

関連するQ&A

  • 複素数

    次の複素数を求めよ {(√6+√2)/4+(√6-√2)i/4}^20 cos15°とド・モアブルの定理を使うと思うのですがわかりません。 詳しい解説お願いします。 ちなみに、参考書の答えは、(1-√3i)/2です。

  • 複素数

    複素数について質問させて頂きます。 参考書には、 「複素数zが実数でない場合つまり、虚部が0でないときzは虚数である」という。 というように記載されていました。 私は複素数は常に虚数だと認識していましたがそうでない場合もあるのでしょうか? 複素数zが実数でない場合と記載されていたので複素数が実数の場合もあるのでは ないかと考えた次第です。 つまり、 z=x+iy (z:複素数、x,y:実数、i:虚数単位) において、y=0の場合でもzを複素数と呼ぶのですか? 上記の場合、zは虚数ではないですが複素数とは言えるのでしょうか? 複素数の定義は、 実数x,yと虚数単位iを用いてz=x+iyの形で表すことのできる数です。 (定義にy≠0は特に記載されていませんでした。) なので、z=x+iyにおいてy=0の場合は複素数とは言わないと考えています。 質問内容を整理しますと、 (1)複素数は常に虚数である (2)z=x+iyにおいて、y=0のときzは複素数ではない   複素数の定義にy≠0は必要なのでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • 数学IIIの問題

    ド・モアブルの定理に関する問題です 解説もお願いします 下記が問題です 1. 次の式を簡単にせよ  (1) (cos60°+isin60°)^4     (2) (√3- i)^5   (3) (3/2+√3i/2)^5 2.方程式 z^4 -1=0を解き、その解を図示せよ

  • 複素数の問題

    複素数が z^3=-10+9√3i を満たす時、zz*とz+z*を求めよ。 ただし、iは虚数単位、z*はzの共役複素数とする。 という問題です。 z=a+bi z=r(cosθ+isinθ) の2つのやり方でやってみましたが、どちらもうまく行きませんでした。 わかる方いらっしゃいましたら、ご指導お願いします。

  • 複素数について

    中学の数学クラブで複素数について調べていますが、よく理解できません。 下記の図のように Z=x + i y で表す意味が分かりません。 もともと虚数の i を なぜ yで掛けているのかが・・・ 虚数って i × i = -1 ですよね。 なぜ ここで虚数が関係しているのかが分かりません。 そして なぜこれが Z=x + i y が等しくなるのかが分かりません。 手間をおかけしますが、教えてくださいよろしくお願いします。

  • 複素数の問題

    以下のような問題があります。解答を見ても理解できません。 複素数平面上の点P(z)が等式2|z-(3+3i)|=|z|をみたしながら動く。 ただし、は虚数単位。 (1)zの偏角θの取りうる値の範囲を求めなさい。ただし、0°≦θ<360° この解は与式を極座標表示をして変形し、整理する事で 15°≦θ≦75° と得られます。 (2)実数tが0≦t≦1の範囲を動くとき、w=tzをみたす点Q(w)の描く図形の面積を求めなさい。 この問題の解答の冒頭で、 (与式)=|z-4-4i|=2√2より、中心4+4i,半径2√2の円を表す。 という箇所があります。 与式の式変形は何故こうなったのでしょうか。 ずっと考えているのですが、分かりません。 分かる方、お手数をおかけしますが、お教えいただけないでしょうか。

  • 複素数

    以下の問に対して、写真の回答の正誤を判定していだだきたく思います。よろしくお願い致します。 (問)複素数を使った計算をし、解答はa+biの形で答えて下さい。ただし、aとbは実数、iは虚数単位です。 例えば1+iという解答は間違いとします。また、例えばπ/k(k=±1,±2,±3,±6,±8,±12)などの角のときは、三角関数の値は計算して下さい。 次の2次方程式を満たすzを求めて下さい。zは2つあります。 z^2=-2+√5i

  • 複素数のn乗根が解けません

    例に、Z^4=1 という問題を解くとします。 ド・モアブルの定理より r^4(cos4θ + isin4θ) となるところまでは分かります! しかし r^4(cos4θ + isin4θ) = 1(cos0 + isin0) は理解出来ませんでした。 この後もいきなり訳の分からない数(2kπ)が出てきて、私にはちんぷんかんぷんです。 ご教示お願いします。

  • 複素数の問題

    (1)実数a,b,cはa+b+c=-1を満たす。P(X)=(x-1)(x^2+(a+1)x-c)=0が 虚数解α、βを持つとき、A=(α/β)+(β/α)は実数である。すべての虚数解α、β に対し、A<pとなるような実数pのうち最小のものはp=□である。また、α=u+vi(u,vは実数)と表すときu~2+v~2=□□である。 (2)P(X)=(x-2)(x^2-(a+2)x+3a+5)が2つの虚数解α、βを持つとき、3α~2-β=ki(kは実数)となるようなaの値は□である。a=□の時、3α~2-βの値は□□√□i または  -□□√□i である。 □の中に、数字を入れる問題です。センター試験の過去問の後半から抜き出した問題のようです。正解は分かりません。 どうぞよろしくご教授ください。お願いします。

  • 複素数の問題。

    どうしても分からないので、お願いします。 Z1=2+i Z2=a+2i Z3=4-iのとき Z1-Z2 -----   が実数であるためにはaはいくつですか? Z3-Z2   お願いします。