図形と方程式

質問

x^2+y^2=1かつy=（√３）x+1を同値変形してといてください。

お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

？？？
代入操作は同値ではない と言いたいのかな？
まあ、そうとも言えるんだけど…
同値かどうかは、代入後の連立方程式を
どれとどれの式と見るか次第です。

x^2+y^2=1 かつ y=(√3)x+1
から
x^2+((√3)x+1)^2=1
が導かれるので、

x^2+y^2=1 かつ y=(√3)x+1
と
x^2+y^2=1 かつ y=(√3)x+1 かつ x^2+((√3)x+1)^2=1
は、同値です。

その部分条件
x^2+((√3)x+1)^2=1 かつ y=(√3)x+1
が
(x, y) = (0, 1) または (-(√3)/2, -1/2)
と同値なので、

後は、
x^2+y^2=1 かつ { (x, y) = (0, 1) または (-(√3)/2, -1/2) }
と
(x, y) = (0, 1) または (-(√3)/2, -1/2)
が同値であることを、
(x^2+y^2=1 へ代入して)確認すれば終わり。

普通は、こんなgdgd は書かずに、
A No.1 のように解いた後、
原式へ代入して成立を確認(した！といって済ます。計算を書いとく必要はない)
するだけです。

一般に、方程式を解くとき、
途中計算が全て同値変形である必要はなく、
必要性で式変形して、解の候補が十分絞り込めたら、
最後に十分性を確認すれば済むからです。

お礼

あ！補足のやつ解決しました。y^2=((√3)x+1)^2とy=(√3)x+1は同値ではありませんね。

本文とこれで解決しました。ありがとうございます！！

補足

x^2+((√3)x+1)^2=1 かつ y=(√3)x+1がx^2+((√3)x+1)^2=1 かつx^2+y^2=1と同値にならない理由はなんですか？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

>同値変形して

普通式変形は同値変形なので普通に解きます。

後者の式を前者の式に代入すると

4x^2 + 2√(3)x + 1 = 1

x(4x + 2√(3))=0

x = 0, -√(3)/2

補足

「同値変形して」というのは同値変形を意識した敷変形をして欲しいという意味です。回答者さんのは同値変形ではないように思われます・・・。