tについての方程式

質問

「tについての方程式
y=x^2+txがt≧１を持つような（x,y）の全体を求めよ。」

という問題ですが、x＝０のときの場合分けの時、０・t＝yとなり、
y=0の時0・t＝０となり、tはすべての実数解を持つので、t≧１なる解を持つのでこの時（x,y）＝（0,0)
とわかりますが、その逆は言えないと思います。
なぜかというと、もし（x,y）＝（0,0)ならばtは１以下のも持つことになるので、同値にはならないと思うのですが・・・。

どう考えればいいのかわかりません。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>y=x^2+txがt≧１を持つような

問題はこれしか書いてませんか？ 方程式の解が「不定」
の場合の取り扱いが不明瞭ですよね。

この意味が

1)tのとりうる値が全て t≧１ を満足する。
2)tのとりうる値の中に t≧１ を満足するものが存在する。

問題は上の命題が真になる x, y を求めればよいので、
どちらかはっきりさせればおのずと結論が出ます。

回答No.3

ereserve67

ANo.1です．

質問文の疑問にはっきり答えていませんでした．

問題文をよく読んでください．少し日本語が変ですが，

>・・・t≧1をもつような・・・

と言う部分はt≧1にtの方程式tx+x^2-y=0が解をもつということでしょう．ｔ<1だけに解をもつならダメですが，t≧1に一つでもあればOKです．

※x=y=0のときｔ0=0は確かに解をもつ（少なくとも一つのt≧1が存在する）と言えますから，x=y=0は条件を満たす場合です．もちろん，x≠0のときの条件を言っていないからそれ以外にも条件を満たす場合がある可能性があります．つまり，

「x=0のときのx,yに関する条件y=0」⇒「t≧1に解をもつ」

であってこれは十分条件にすぎません．この他

「x>0のときのx,yに関する条件(1)」⇒「t≧1に解をもつ」
「x<0のときのx,yに関する条件(2)」⇒「t≧1に解をもつ」

という場合があるなら，x=0,x>0,x<0ですべてを尽くしているので後(1)，(2)を求めればそれらを合わせて必要十分と言えます．なお，(1)と(2)がどうなるかはANo.1に示した通りです．

補足

「x>0のときのx,yに関する条件(1)」⇒「t≧1に解をもつ」
「x<0のときのx,yに関する条件(2)」⇒「t≧1に解をもつ」
は問題ないと思うんですが、
「x=0のときのx,yに関する条件y=0」⇒「t≧1に解をもつ」
は本当に必要十分になっているんですか？だってtはt≧１意外にも解をこの時持つのだから・・・。

回答No.2

YanenoSuzume

「x＝０のとき、ｔ≧１を解に持つと言えるのか」というご質問でしょうか。
「イエス、ｔ≧１を解に持つ」（それ以外のｔも解に持つが）と解釈するのがふつうだと思います。

回答No.1

ereserve67

tx+x^2-y=0

とかきます．この左辺をf(t)とかき，ts平面上でs=f(t)のグラフがt≧1でt軸と共有点をもつ条件を求めます．このときx,yはパラメータとみます．

(1)x>0のときf(t)は傾き正の直線ですから

f(1)=x+x^2-y≦0（ts平面で図を書けばすぐわかります）
y≧x^2+x

(2)x=0のときf(t)=-yはt軸に平行な直線ですからt≧1に解をもつためには-y=0,y=0

(3)x<0のときf(t)は傾き負の直線ですから

ｆ(1)=x+x^2-y≧0（ts平面で図を書けばすぐわかります）
y≦x^2+x

よって

(1)x>0かつy≧x^2+x

または

(2)x=y=0

または

(3)x<0かつy≦x^2+x

となります．

境界を除く部分は，「放物線y=x^2+xの右側上方または左側下方」になります．微妙なのは境界線です．

(1)，(3)よりx≠0のとき放物線y=x^2+x上の点は含みますから，これと(2)原点を併せて，放物線上はすべて含みます．ただし，y軸上の原点以外の点は含みません．

グラフ描画ソフトの図をみて下さい．1≦t≦50での残像です．

補足

できれば質問に答える形のように解説いただけるとありがたいです。